Муниципалка 10 - 11 класс
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В однокруговом шахматном турнире (каждый шахматист играет с каждым одну партию) участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них – из России. Известно, что набрав очков больше, чем кто-либо, первое место занял россиянин Владимир. Второе место занял Левон из Армении, также опередив по очкам каждого из остальных 18 шахматистов. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты? (В шахматах за победу в партии даётся одно очко, за ничью – пол-очка, за поражение очков не дают.)
Источники:
Подсказка 1
Заметим для начала, что в каждой игре разыгрывается одинаковое кол-во очков (1+0 = 0+1 = 0.5+0.5). В этой задачке спрашивается про суммарное кол-во очков какой-то команды, а в силу того, что за каждую игру разыгрывается одинаковое кол-во очков, то при любых исходах между участниками команды, вся команда получает фиксированное кол-во очков. Это очень популярный сюжет в таких играх, где мы получаем "бесплатно" минимальное кол-во очков, которое заработала команда за турнир.
Подсказка 2
Давайте попробуем построить пример и доказать, что он подходит. Мы уже поняли, что между россиянами партии приносят один и тот же результат, тогда хотелось бы, чтобы они выиграли у каждого иностранца, кроме Владимира и Левона, потому что им нужно много очков, чтобы быть на 1-ом и 2-ом местах соответственно. Можно попробовать примерно оценить, сколько получит россиянин очков, посчитав кол-во игр между россиянами и россиянами с иностранцами. Попробуйте построить пример, где суммарное кол-во очков у россиян равно 96.
Подсказка 3
Перейдём к оценке, покажем, что 96,5 и более не могло получиться. Попробуйте посчитать кол-во очков, которые разыгрывались между россиянами и иностранцами, а затем понять, сколько максимум очков мог получить иностранец.
Подсказка 4
Верно, каждый иностранец не мог получить больше 2,5 очков, тогда даже, если он победит всех оставшихся иностранцев, то получит не более 15,5 очков. Что мы тогда можем сказать про максимальное кол-во очков, которые мог набрать россиянин при условии, что его должен обогнать иностранец - Левон? А сколько тогда должен набрать Владимир при условии, что россияне набрали не менее 96,5 баллов?
Приведем пример, показывающий, что суммарно российские шахматисты могли набрать 96 очков. Пусть Владимир выиграл все свои
партии, кроме партии с Левоном, которая завершилась вничью. Пусть, кроме того, Левон сыграл вничью и со всеми остальными
россиянами, а у не россиян неизменно выигрывал. Наконец, пусть все остальные партии между россиянами завершились вничью, а
иностранцев, кроме Левона, все россияне победили. Тогда Владимир набрал 
очков, Левон набрал 
очков, каждый из остальных россиян набрал 
очков, а каждый из остальных тринадцати игроков - не
более, чем 12 очков. Условие задачи в этом случае выполнено, а количество очков набранных всеми россиянами равно
Покажем, методом от противного, что больше очков россияне набрать не могут. Пусть они в сумме набрали 96,5 очков или больше. В 15-и
партиях между собой они взяли в сумме 15 очков, а остальные (не менее 81,5
взяты в партиях с представителями других стран.
Таких партий россиянин - не россиянин было 
, и в них разыгрывалось всего 84 очка. Тогда все иностранцы в
партиях с россиянами набрали не более 2,5 очков, и никто из них, в том числе Левон, не мог набрать в сумме более, чем
очков. Пятеро россиян, которых он опередил, набрали при этом не более 15 очков каждый, а тогда Владимир
должен набрать не менее 
очка. Но он сыграл всего 19 партий, и потому набрать более 19 очков не мог.
Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
