Муниципалка 10 - 11 класс
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася вписал в клетки таблицы 
(
строки, 
столбцов) натуральные числа от 
до 
в некотором одному ему известном
порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из восемнадцати полученных произведений
вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?
Источники:
Подсказка 1
Мы видим условие, что все суммы должны быть равны. Не кажется ли это нам странным? Уж слишком сильное условие, чтобы суммы цифр у всех чисел были равны. Значит, интуитивно, мы хотим доказывать обратное. При этом у нас в задаче фигурирует сумма цифр числа. На чем тогда можно выстроить противоречие?
Подсказка 2
Да, нам хотелось бы как-то привязать к этому кратность 9, так как точно найдется сумма, кратная 9 (ведь найдётся произведение, кратное 9). А значит, наша S кратна 9. Теперь надо подумать, на чём конкретно нам следует строить противоречие. Вот чтобы произведение числа делилось на 9, нам нужно либо два числа кратных 3, либо два числа кратных 9. Хмм, а много ли их среди первых 72 натуральных чисел?
Подсказка 3
Верно, их не так уж и много. Чисел, кратных девятке, - 8 штук, а кратных тройке , но не кратных девятке чисел - 16 штук. Осталось понять, почему мы уже решили задачу (то есть почему такого кол-ва не хватает).
Подсказка 4
Ага, ведь всего таким образом мы сможем заполнить не более 16 столбцов, а надо заполнить 18. Противоречие!
Предположим, что каждая из указанных сумм цифр равна 
Так как некоторые из произведений содержат множители кратные девяти, то
такие произведения делятся на 
значит, их сумма цифр также делится на 
Следовательно, число 
должно быть кратно девяти.
Таким образом, произведение чисел в каждом столбце должно быть кратно девяти. Оно может быть кратно девяти только в двух
случаях:
если содержит хотя бы один множитель, кратный девяти;
если содержит не менее двух множителей, кратных трем, но не кратных девяти.
Среди чисел от 
до 
восемь чисел делятся на 
и 
чисел делятся на 
но не делятся на 
Следовательно, произведений,
кратных девяти, может оказаться не больше, чем 
то есть на 
могут делится не больше, чем 
сумм их цифр. Так как в
таблице — 
столбцов, то получено противоречие.
- нет
- Нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
