Тема . Муниципальный этап ВсОШ

Муниципалка 10 - 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела муниципальный этап всош
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72242

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC  проведены высоты AA
  1  и CC ,
  1  и отмечены точки K,  L  и M  — середины сторон AB,  BC  и CA  соответственно. Докажите, что если ∠C1MA1 =∠ABC,  то C1K = A1L.

Показать доказательство

Пусть ∠ABC  =β,∠ACB = γ,∠BAC = α.  Тогда можем выразить угол C MA
 1  1  через два других угла треугольника.

PIC

Понятно, что AM = CM = C1M = A1M.  Тогда

∠AMC1  =180∘− 2α ∠CMA1  = 180∘− 2γ

∠C1MA1 = β = 180∘ − (180∘− 2α)− (180∘− 2γ)= 2(α +γ)− 180∘

Но мы знаем, что             ∘
α +β +γ =180 .  Тогда из равенства углов в условии получаем

β =2(180∘− β)− 180∘

    ∘
β = 60

Значит, на самом деле нам дали треугольник с углом 60∘.  Но тогда KL = C1A1 = AC2 ,  так как KL  — это средняя линия треугольника, а △A BC
  1   1  подобен исходному с коэффициентом cos60∘,  откуда и получаем равенство.

Теперь видим, что если докажем равенство треугольников KC1L  и A1C1L,  то мы победим! Одна пара сторон у них равные, а C1L  общая сторона. Давайте найдём угол между ними. Будем использовать знания о том, что ACA1C1  вписанный, KL  параллельно AC  и из прямоугольного треугольника BC1 = BL= C1L.  Тогда

∠KLC1 = ∠C1LB − ∠KLB = ∠LC1B− ∠A1C1B = ∠LC1A1

Значит, треугольники KC1L  и A1C1L  равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда и KC1 = A1L.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!