Муниципалка 10 - 11 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном неравнобедренном треугольнике 
проведены высоты 
и 
и отмечены точки 
и 
— середины
сторон 
и 
соответственно. Докажите, что если 
то 
Подсказка 1
Давайте для начала подумаем, что нам дает равенство уголочков ∠ABC и ∠A₁MC₁. Мы знаем, что сумма уголков ∠C₁MA+∠C₁MA₁+∠A₁MC=180°. Как нам выразить ∠C₁MA и ∠A₁MC через углы треугольника ∠ABC?
Подсказка 2
Т.к. △AMC₁ и △CMA₁- равнобедренные, то ∠AMC₁=180°-2∠BAC, ∠CMA₁=180°-2∠BCA ⇒ ∠ABC=2(180°-∠ABC)-180° ⇒ ∠ABC=60°. Тогда очень интересным выглядит треугольник △BC₁C. Что можно сказать про сторону BC₁?
Подсказка 3
Верно, она равна BC/2. Но мы знаем, что BL=BC/2 ⇒ BC₁=BL. Из аналогичных рассуждений можно получить, что BK=BA₁. Как тогда завершить решение?
Подсказка 4
Посмотрите на равенство BC₁-BK=BL-BA₁!
Пусть 
Тогда можем выразить угол 
через два других угла треугольника.
Понятно, что 
Тогда
Но мы знаем, что 
Тогда из равенства углов в условии получаем
Значит, на самом деле нам дали треугольник с углом 
Но тогда 
так как 
— это средняя линия
треугольника, а 
подобен исходному с коэффициентом 
откуда и получаем равенство.
Теперь видим, что если докажем равенство треугольников 
и 
то мы победим! Одна пара сторон у них равные, а 
общая сторона. Давайте найдём угол между ними. Будем использовать знания о том, что 
вписанный, 
параллельно 
и из
прямоугольного треугольника 
Тогда
Значит, треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
