Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все решения системы
такие, что 
Подсказка 1
Посмотрим на второе уравнение - не очень удобно, когда с одной стороны у нас и скобки с sin x и cos x в степенях, и обычные многочлены от y... Может, попробовать собрать с одной стороны все выражения, содержащие y, а с другой - все, содержащие x? Главное - не забыть проверить, когда это возможно
Подсказка 2
Да, так как справа положительное выражение, то обе скобки ненулевые. Тогда можем поделить уравнение на 6y²+2y. Заменим cos² по основному тригонометрическому тождеству. Кажется, теперь левую часть получившегося выражения можно неплохо оценить.
Подсказка 3
Конечно, из неравенства о взаимно обратных левая часть не меньше 4, а также из ограничений для синуса она будет не больше 5. Но ведь тогда эти же ограничения действуют и для правой части выражения! Остаётся только записать систему неравенств, найти подходящие y и подставить их в первое уравнение!
Правая часть второго уравнения всегда положительна, поэтому и в левой части 
Тогда поделим второе уравнение на 
![25y2+ 6y +1 sin2x 4
--6y2+-2y-- =4 + 4sin2x ∈ [4;5]](/api/latex-service/v1/GetSession/132687/index-785fc48e01b2b03b38175e4f40addde8.svg)
Так как в силу неравенства на сумму взаимно обратных чисел
А также
Из оценки на правую часть, получаем для левой части
Домножим оба неравенства на 
![( [ ) ⌊
{ y ∈ (− ∞;−1]∪ 1;+∞ y =[−1 ]
( 5 ⇐⇒ ⌈ y ∈ 1 ;1
y ∈ [− 1;1] 5](/api/latex-service/v1/GetSession/132687/index-dbbb4500e6d5397a26ce778b25f58073.svg)
Подставляя 
в первое уравнение, получим
Значит, в этом случае 
— единственная серия решений.
Преобразуем неравенство:
Тогда из первого уравнения системы
Противоречие, так как 
В этом случае решений нет.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
