Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Решение 1.

Перепишем неравенство, данное в условии:

Посмотрим на график степенной функции. Если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит выше графика.

С графиком функции наоборот: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика. График функции это сдвинутый по осям абсцисс и ординат график функции Значит, и для графика функции верно: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика.

Подставим значения в левую и правую части неравенства. Получаем, что графики функций проходят через точки Тогда все значения функции лежат ниже отрезка, соединяющего точки а все значения выше.

То есть в каждой точке отрезка все значения функции не меньше чем значения

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Обозначим

Докажем, что на всём отрезке

Производная на отрезке

Приравняем к :

Функции – возрастающие на отрезке Тогда тоже возрастающая. Значит, производная имеет не более одного корня на отрезке То есть имеет не более одной точки экстремума на отрезке

На концах

Тогда если на отрезке нет точек экстремума и монотонность не меняется, то на всем отрезке. Если точка экстремума лежит на отрезке то возможны два варианта:

1. Это точка минимума. Тогда функция убывает от 0 до точки минимума, а затем возрастает до 2.

2. Это точка максимума. Тогда функция возрастает от 0 до точки максимума, а затем убывает до 2.

Отметим, что то есть

Значит, возможен только первый вариант. Тогда на всём отрезке