ГМТ, расположение объектов в пространстве

Подсказка 1

Что мы имеем? Равносторонний треугольник — симметричная фигура, квадрат тоже крут в этом плане. Может быть тогда треугольник XYZ имеет похожие свойства?

Подсказка 2

Попробуйте доказать, что треугольник XYZ — равнобедренный. Как же это сделать? Ну, например, можно честно, рас писать равенства сторон и так далее. Либо же воспользоваться прекрасным преобразованием — симметрией.

Подсказка 3

Отметим серединки AB и ZY — M, N соответственно, рассмотрим плоскость NMX, скажем пару волшебных слов и готово:) Что же дальше?

Подсказка 4

Треугольник XYZ — равнобедренный. Что тогда можно сказать про его ортоцентр?

Подсказка 5

Он лежит на XN — серпере к YZ. Уже неплохо:) Ключевая идея в подобных задачах: угадать окружность или сферу (от задачи зависит), но изредка, прям редко, может быть иначе (не стоит об этом забывать). Итак, хотим угадать сферу. Всё так симметрично относительно плоскости XMN. Кажется, стоит искать эту окружность в этой плоскости. Теперь, следующее понимание: весь сюжет вращается вокруг AB, кажется, что центр искомой окружности тоже лежит на нём. Итак, что мы имеем?

Подсказка 6

Гипотеза: центр искомой окружности — точка M. Что же делать с радиусом? Угадать бы какую-нибудь точку окружности было бы славно. Как же это можно делать? Ну, например, рассмотреть экстремальные случаи. Ну, советую рассмотреть случай, когда квадрат и треугольник в одной плоскости (ну и там уже можно координатно или в синусах посчитать, или в теорема Пифагора)

Подсказка 7

Так или иначе вы доказали, что одно из положений ортоцентра — это точка X. Теперь хотим в общем виде доказать, что все ортоценты лежат на окружности с центром в M и радиусом MX. Теперь подумаем, как же это сделать? Для этого стоит отметить точки S, T на прямой MN по обе стороны от M так, чтобы MS = MT = MX (T на отрезке MN). Как быть дальше?

Подсказка 8

Считать уголки — так себе идея... Но что мы еще умеем делать, чтоб доказывать вписанность?

Подсказка 9

Степень точки! Самой приятной кажется точка N. То есть осталось доказать, что NT*NS = NH*NX, где H — ортоцентр XYZ. Теперь пусть AB = a. Осталось написать пару теорем Пифагора, немного повыражать и доказать равенство, а как следствие, и решение задачи у нас в кармане)