ГМТ, расположение объектов в пространстве

Проведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани — прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть — его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра Пусть также — точки, симметричные соответственно относительно точки Докажем, что все построенные прямые проходят через точку

Пусть — центр масс треугольника . Тогда

То есть точка лежит на диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Аналогично центр масс треугольника лежит на этой диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Точка — середина отрезка поэтому

Рассмотрим проекцию на плоскость — проекция точки , — проекция центра Точка совпадает с центром описанной сферы тетраэдра поэтому — центр описанной окружности треугольника

Тогда прямая проецируется в прямую Эйлера треугольника Пусть Тогда ( делит отрезок в отношении , это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, лежат на одной прямой и (прямая Эйлера), отсюда Следовательно, , а прямая , перпендикулярная плоскости , делит отрезок пополам, а значит, совпадает с прямой . Итак, все построенные прямые проходят через точку .