ГМТ, расположение объектов в пространстве
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
– середины ребер 
соответственно тетраэдра 
(a) докажите, что 
тогда и только тогда, когда 
(b) Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (эту точку называют ортоцентром). Докажите, что тетраэдр ортоцентрический тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, равны.
(a) Заметим, что 
, так как 
средняя линия в треугольнике 
и 
средняя линия в треугольнике 
.
Аналогично, 
. Тогда если 
, то в 
прямоугольник и 
. С другой стороны, если 
, то
прямоугольник и 
.
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(b) По предыдущему пункту мы знаем, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, равны тогда и только тогда, когда
, 
. Значит, осталось доказать, что тетраэдр 
ортоцентрический тогда и только тогда, когда две
пары его противоположных рёбер перпендикулярны.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если 
ортоцентрический и 
высоты, то рассмотрим плоскость, проходящую через 
и
. Она проходит через 
и так как 
перпендикулярна 
и 
, то она перпендикулярна 
. Значит,
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если 
и 
, то рассмотрим плоскость 
и 
. Значит, это
плоскость перпендикулярна 
. Аналогично плоскость 
перпендикулярна 
. Значит, это одна и та же плоскость и значит 
и 
пересекаются.
Пусть это точка 
и через эту точку не проходит 
. Аналогично, 
и 
пересекаются в точке 
и 
и 
пересекаются в точке 
. Тогда 
и значит, 
лежит в плоскости 
, но тогда 
и 
и 
Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
