ГМТ, расположение объектов в пространстве
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (эту точку называют ортоцентром).
Докажите, что тетраэдр ортоцентрический тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
(a) суммы квадратов противоположных ребер равны;
(b) произведения косинусов противоположных двугранных углов равны;
(c) углы между противоположными ребрами равны.
(a)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если тетраэдр ортоцентрический, 
высоты и 
точка пересечения, то по при проекции на 
высоты перейдут в
высоты, а значит, 
перейдет в ортоцентр 
.png)
Тогда
и
Значит, нам нужно показать, что
Пусть 
высота в треугольнике 
. Тогда
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если суммы квадратов противоположных ребер равны, то опустим высоту 
в тетраэдре и раз 
, то
. Значит, если опустить перпендикуляры 
и 
, то
Такое может быть на прямой только, если 
, что невозможно, либо если 
. Значит, 
лежит на высоте 
.
Аналогично, она лежит на других высотах, и значит, 
— ортоцентр. Тогда заметим, что при проекции 
перешла в 
и 
пересекается с 
, то и 
пересекается с 
. Так мы доказали, что любые 2 высоты пересекаются. Если пересекаются любые 2
высоты, то пересекаются все (стоит отдельно это пояснить, но это несложно).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теорема Бретшнейдера. Пусть 
и 
длины скрещивающихся ребер тетраэдра, 
и 
двугранные углы при этих ребрах.
Докажите, что величина 
не зависит от выбора пары скрещивающихся ребер.
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(b)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если тетраэдр 
ортоцентрический, то по прошлому пункту 
.
Если двугранные углы при рёбрах 
и 
равны 
и 
соответственно, то по теореме Бретшнейдера
Поэтому
Мы доказывали выше, что 
, поэтому тут все сокращается на 
и получается
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теперь в обратную сторону. Пусть двугранные углы при рёбрах 
и 
равны 
и 
соответственно и при этом
. Теперь наоборот домножаем на 
и применяем факт 
.
Поэтому
По теореме Бретшнейдера
Значит, 
и поэтому тетраэдр 
ортоцентрический.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(c)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если тетраэдр ортоцентрический, то все углы между противоположными ребрами равны 
.
Если углы между противоположными ребрами равны, то все углы между противоположными рёбрами равны 
. Предположим,
что 
. Тогда 
.
Пусть 
— произведения длин пар противоположных рёбер. Одно из чисел 
или 
равно сумме двух
других (Доказательство смотри ниже). Так как 
, то одно из чисел 
или 
равно сумме двух других. С другой
стороны, существует невырожденный треугольник, длины сторон которого равны 
, 
и 
(Доказательство смотри
ниже)?!
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Факт 1. Пусть 
и 
и 
и 
- длины пар противоположных рёбер тетраэдра; 
- соответственные углы между ними
). Докажите, что одно из трёх чисел 
и 
- сумма двух других.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение. Достроим тетраэдр до параллелепипеда. Тогда 
и 
- диагонали двух противоположных граней параллелепипеда. Пусть
и 
- стороны этих граней, причём 
. По теореме косинусов 
и 
, поэтому
. Записав такие равенства для чисел 
и 
, мы получим требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Факт 2. Докажите, что для любого тетраэдра существует треугольник, длины сторон которого равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть длины рёбер 
и 
равны 
и 
; длины рёбер 
и 
равны 
и 
. Проведём через вершину 
плоскость, касающуюся описанной около тетраэдра сферы. Рассмотрим тетраэдр 
, образованный плоскостями, 
и
плоскостью, проходящей через вершину 
параллельно плоскости 
, и тетраэдр 
, образованный плоскостями , 
и плоскостью, проходящей через вершину 
параллельно плоскости 
.
.png)
Так как 
- касательная к описанной окружности треугольника 
, то 
. Кроме того, 
,
поэтому 
. Следовательно, треугольники 
и 
подобны, а значит, 
, т. е.
. Аналогично 
и 
. А так как треугольнки 
и 
подобны, то
, т. е. 
. Итак, длины сторон треугольника 
, домноженные на 
, равны 
и
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
