.03 Уравнение гармонических колебаний

Введем обозначения (см. рис.). Пусть первоначальная масса груза , тогда вторичная масса груза . Длина недеформированной пружины – длина пружины в положении равновесия в случае первого груза, – положение равновесия для второго случая, – крайнее нижнее положение при колебаниях второго груза. Жесткость пружины обозначим через . Потенциальная энергия деформации для первого груза может быть записана в виде

а условие равновесия

Деформация пружины в случае равновесия со вторым грузом в три раза больше, чем для первого, т. е.

Амплитуда колебаний для второго груза

Когда груз колеблется около своего положения равновесия, то на него действуют две силы: сила тяжести и сила упругой деформации пружины, но действие этих двух сил эквивалентно действию одной упругой силы , где – отклонение от положения равновесия. Поэтому очевидно, что максимальное ускорение груза при колебаниях во втором случае будет при максимальном отклонении груза от положения равновесия :

Рассмотрим колебание груза массой относительно положения равновесия . В крайнем верхнем положении полная энергия системы равна потенциальной энергии груза:

Потенциальную энергию грузы мы записали через эквивалентную силу, о которой говорилось выше. Если груз при колебании имеет кинетическую энергию , то его потенциальная энергия

Здесь – отклонение от положения равновесия. Из уравнений (1) и (2) следует, что