.03 Уравнение гармонических колебаний

Рассмотрим сначала движение груза вместе с подставкой. Направим ось вниз и будем отсчитывать координату груза от начального положения, в котором пружина не растянута. За начало отсчёта времени выберем момент начала движения. Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на ось :

– масса груза, – жёсткость пружины, – сила нормальной реакции, действующая со стороны подставки. Пусть – координата груза в момент отрыва от подставки. Учитывая, что в этот момент сила обращается в нуль, получаем:

– частота свободных колебаний груза на пружине. Найдём скорость , которую имеет груз в момент отрыва:

После отрыва груз совершает гармонические колебания с частотой . Найдём координату положения равновесия :

Для описания колебаний введём новую координату , отсчитанную от положения равновесия:

Время будем отсчитывать от момента отрыва. Начальное значение координаты равно:

Начальная скорость груза равна . Зависимости от времени координаты и скорости груза при колебаниях определяются соотношениями:

– амплитуда колебаний (положительная величина), – начальная фаза. Полагая , получаем:

Так как , то угол лежит в четвёртой четверти. Выразим его через арктангенс:

В момент времени , когда пружина растянута на максимальную длину, скорость груза обращается в нуль:

Полагая , получаем:

Этот результат можно получить по-другому, представив в виде:

где – время движения от момента отрыва до положения равновесия, – время движения от положения равновесия до момента максимального удлинения пружины. Для имеем:

При результат для упрощается:

(Официальное решение Курчатов)