14.02 Задачи №14 из сборника И.В. Ященко
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах 
и
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и
параллельна прямой 
a) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
а) Пусть плоскость 
пересекает ребро 
в точке 
Прямые 
и 
параллельны, так как плоскость 
параллельна
значит, по теореме о пропорциональных отрезках
Следовательно, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, 
Таким образом, плоскость 
содержащая прямую 
параллельна прямой 
б) Пусть 
— середина ребра 
тогда 
— медиана и высота в равнобедренном треугольнике 
— медиана и высота в равностороннем треугольнике 
Тогда 
и 
следовательно,
Плоскость 
перпендикулярна плоскости 
параллельной прямой 
и плоскости 
содержащей прямую
Поскольку плоскость 
параллельна прямой 
лежащей в плоскости 
то искомый угол равен углу между
прямой 
и плоскостью 
Рассмотрим треугольник 
Проведем в нем высоту 
Заметим, что 
так как 
По
построению 
значит, 
Следовательно, прямая 
является проекцией прямой 
на
плоскость 
Значит, угол между прямой 
и плоскостью 
равен углу между прямыми 
и 
Найдем угол 
треугольника 
По условию 
Найдем стороны 
и 
Отрезок 
— высота
равностороннего треугольника 
со стороной, равной 6 по условию, значит, 
Отрезок 
— высота равнобедренного треугольника 
тогда по теореме Пифагора
Запишем теорему косинусов для треугольника 
Подставим найденные ранее значения и вычислим косинус угла 
Значит, угол между плоскостью 
и плоскостью 
равен 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
