14.02 Задачи №14 из сборника И.В. Ященко

а) Правильный восьмиугольник получается из квадрата «отрезанием» при вершинах квадрата равных равнобедренных треугольников. Поэтому впишем данную восьмиугольную призму в прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат Тогда Так как а по свойству правильного восьмиугольника, то плоскость параллельна Следовательно, она пересечет плоскости, в которых лежит по прямым, параллельным Поэтому проведем Прямая, проходящая через и параллельная — это (по свойству правильного восьмиугольника). Следовательно, — сечение призмы плоскостью

По теореме Фалеса следовательно, как прямоугольные по двум катетам. Следовательно, Так как то следовательно, — равнобедренная трапеция. Чтд.

б) По свойству правильного восьмиугольника Также Следовательно, Следовательно, если провести (), то Рассмотрим прямоугольник

Введем обозначения, показанные на рисунке. Учтем, что

Следовательно,

Тогда

Тогда объем пирамиды равен