14.02 Задачи №14 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием четырехугольной пирамиды 
является квадрат 
при
этом ребро 
перпендикулярно плоскости основания. Через середины ребер
и 
параллельно прямой 
проведена плоскость 
а) Докажите, что точка пересечения плоскости 
с ребром 
делит его в
отношении 
считая от вершины 
б) Найдите площадь сечения пирамиды 
плоскостью 
если
Источники:
а) Проведем диагонали основания 
и 
пересекающиеся в точке 
а
также отметим точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
Тогда 
Рассмотрим плоскость 
Прямая 
пересекает эту плоскость в точке
лежащей на отрезке 
Проведем через точку 
отрезок 
Тогда 
Следовательно, 
Значит, требуется
доказать, что 
Так как 
— средняя линия в 
то 
Тогда по
теореме Фалеса 
откуда следует, что 
— середина
Значит, 
А так как 
то теореме Фалеса
Что и требовалось доказать.
б) Пусть 
Так как плоскость 
проходит через 
и
то 
Следовательно, плоскость 
пересекает плоскость
по прямой 
проходящей через точку 
и параллельной 
Тогда
— сечение пирамиды плоскостью 
Так как 
то по теореме о трех перпендикулярах
Значит, так как 
то верно следующее:
Также, так как 
то 
пересечет плоскости, в которых
лежит 
по прямым, параллельным 
Значит, 
Следовательно, сечение состоит из двух многоугольников: прямоугольника
и равнобедренного 
(ребра 
и 
равны, так как равны
прямоугольные 
и 
; по теореме Фалеса 
и 
— середины 
и
соответственно, значит, 
).
Найдем необходимые длины отрезков:
Тогда
б) 12,5
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
