14.02 Задачи №14 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 
относится
к боковому ребру как 
Через вершину 
проведена плоскость
перпендикулярная боковому ребру 
и пересекающая его в точке
а) Докажите, что сечение пирамиды 
плоскостью 
— это
четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно
Источники:
а) Пусть 
— высота пирамиды 
Так как эта пирамида правильная,
то 
— точка пересечения диагоналей квадрата 
Так как 
то 
перпендикулярна любой прямой из 
Следовательно,
Пусть 
Так как 
то по теореме о трех перпендикулярах
Проведем через точку 
прямую 
(см. рис.). Тогда
Следовательно, 
— сечение пирамиды плоскостью 
Также
по теореме о трех перпендикулярах 
Следовательно, так как
то диагонали сечения 
и 
перпендикулярны. Что и
требовалось доказать.
б) Так как диагонали сечения 
взаимно перпендикулярны, то площадь
сечения можно искать по формуле
По условию 
а 
Следовательно, 
Следовательно, 
Значит, 
равносторонний. Тогда
Так как 
равносторонний, то 
и 
— не только высоты, но и
медианы этого треугольника. Следовательно, точкой пересечения они делятся в
отношении 
считая от вершины. Тогда
следовательно,
Тогда искомая площадь равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
