Тема 15. Решение неравенств

15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105052

Решите неравенство

x         x           x−1           x−1
2 ⋅log3x+ 3 ⋅log2 x≤ 2⋅3   ⋅log3x + 3⋅2   ⋅log2x.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Заметим, что x> 0.  Тогда преобразуем неравенство:

2x⋅log x+ 3x⋅log x − 2 ⋅3x−1⋅log x− 3⋅2x−1 ⋅log x≤ 0
      3   (    2     )       3(          )  2
    log3x⋅ 2x− 2⋅3x−1 − log2x⋅ 3⋅2x−1− 3x ≤ 0
          ( x−1   x−1)        ( x−1   x−1)
   2log3x⋅ 2   − 3    − 3log2x ⋅2   − 3    ≤ 0
         (2log3x− 3log2x)(2x−1− 3x−1)≤ 0
                            ( x−1   x−1)
      (2 log3x− 3⋅log2 3⋅log3x)⋅ 2   − 3    ≤ 0
                      (  x− 1   log23⋅(x−1))
      (2 − 3 log23)⋅log3x ⋅ 2  − 2         ≤ 0

Поймем, какого знака число 2− 3log23 :

log23 > log22= 1
   3log 3 > 3
      2

Значит,

2− 3log 3< 0.
       2

Тогда поделим на него, поменяв знак неравенства:

      (               )
log3x ⋅ 2x−1− 2log23⋅(x−1) ≥ 0.

Применим метод рационализации:

(3 − 1)⋅(x− 1)⋅(2− 1)⋅((x− 1)− log 3⋅(x− 1))≥ 0
                              2
         (x − 1)⋅(x− 1)⋅(1− log23)≥ 0

Так как log23> 1,  то 1 − log23< 0.  Тогда поделим неравенство на данный множитель, поменяв знак неравенства на противоположный:

      2
(x − 1) ≤ 0
   x =1
Ответ:

{1}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!