Тема 15. Решение неравенств

15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105054

Решите неравенство

x         x           x−1           x−1
3 ⋅log5x+ 5 ⋅log3 x> 3⋅5   ⋅log5 x+ 5⋅3   ⋅log3x.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Заметим, что x> 0.  Тогда преобразуем неравенство:

  3x⋅log x +5x ⋅log x> 3⋅5x−1 ⋅log x+ 5⋅3x−1⋅log x
       5         3             5            3
3x⋅log5x+ 5x⋅log3x − 3 ⋅5x−1⋅log5x− 5⋅3x−1 ⋅log3x> 0
          ( x     x−1)       (   x−1   x)
    log5x⋅ 3 − 3⋅5    − log3x⋅ 5⋅3   − 5  > 0
   3log5x⋅(3x−1− 5x−1)− 5log3x ⋅(3x−1− 5x−1)> 0
                        ( x−1   x−1)
         (3log5x− 5log3x) 3   − 5    > 0
      (3log x − 5⋅log 5⋅log x)(3x−1 − 5x−1)> 0
          5        3  ( 5             )
      (3 − 5 log35)⋅log5x ⋅ 3x− 1− 3 log35⋅(x−1) > 0

Поймем, какого знака число 3− 5log35 :

log5 > log 3= 1
  3      3
   5log35 > 5

Значит,

3− 5log35< 0.

Тогда поделим на него, поменяв знак неравенства:

      (               )
log5x ⋅ 3x−1− 3log35⋅(x−1) < 0.

Применим метод рационализации:

(5− 1)(x − 1)(3− 1)((x − 1)− log 5 ⋅(x − 1))< 0
                           3
         (x − 1)(x− 1)(1 − log35)< 0

Так как log35> 1,  то 1 − log35< 0.  Тогда поделим неравенство на данный множитель, поменяв знак неравенства на противоположный:

      2
(x − 1) > 0
   x ⁄=1

Тогда, так как x> 0,  то

x ∈(0;1)∪(1;+∞ ).
Ответ:

(0;1) ∪(1;+ ∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!