Тема 15. Решение неравенств

15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105058

Решите неравенство

16x+0,5− 4x+1,5 − 4   100    x+1
------4x−-2----- + 4x−-8 ≥ 4  − 24.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

16 x+0,5− 4 x+1,5− 4  100    x+1
-----4x−-2------+ 4x−-8 ≥4    − 24
 2x+1   x+1,5
4----−-4----−-4+ -100- ≥ 4x+1− 24
     4x− 2       4x − 8
4-⋅42x-− 8-⋅4x-− 4 -100-     x
     4x− 2     + 4x− 8 ≥4 ⋅4  − 24

Сделаем замену  x
4  = t> 0.  Тогда неравенство примет вид

           4t2−-8t−-4+ -100 ≥4t− 24
             t− 2     t− 8
            t2− 2t− 1    25
            --t−-2---+ t−-8 ≥ t− 6
(2       )
-t-− 2t−-1-(t− 8)+-25(t− 2)−-(t−-6)(t−-2)(t−-8)≥ 0
                (t− 2)(t− 8)
  (t− 8)(t2− 2t− 1− (t− 6)(t− 2))+ 25(t− 2)
  --------------(t−-2)(t−-8)-------------≥ 0
        ( 2         2       )
   (t− 8)-t-−-2t− 1-− t-+-8t−-12-+25(t−-2)-≥ 0
                (t− 2)(t− 8)
          (t−-8)(6t−-13)+-25(t− 2)
                (t− 2)(t− 8)      ≥ 0
            2
           6t-−-61t+-104-+25t−-50≥ 0
                (t− 2)(t− 8)
               6t2−-36t+-54
                (t− 2)(t− 8) ≥ 0
                 2
                -t−-6t+-9-≥ 0
                (t− 2)(t− 8)
                --(t−-3)2---
                (t− 2)(t− 8) ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t0238+−−+

Таким образом,

⌊
|0< t< 2
⌈t= 3
 t> 8

Сделаем обратную замену:

⌊                ⌊
  0< 4x < 2       x< 0,5
|⌈ 4x = 3      ⇔   |⌈x= log4 3
  4x > 8           x> 1,5
Ответ:

(−∞; 0,5)∪ {log43}∪ (1,5;+ ∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!