15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко

Найдем ОДЗ:

Раскроем модули. Для этого найдем, когда выражения в них обращаются в 0.

Заметим, что по ОДЗ значение не подходит.

Рассмотрим второй модуль:

Изобразим числовую прямую и отметим на ней ОДЗ и промежутки раскрытия модуля.

Таким образом, получаем:

• При оба подмодульных выражения положительны.
• При первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно.
• При оба подмодульных выражения отрицательны.

Рассмотрим каждый из случаев по отдельности:

1.

так как при данных значениях выражение строго положительно, то неравенство примет вид:

В левой части парабола, а значит данное неравенство выполнено на значениях расположенных «между корнями» данной параболы:

Таким образом получаем, что Теперь вспомним, что мы работаем в случае поэтому нужно сравнить концы полученного отрезка с 3. Сравним правый конец:

Значит,

Заметим, что левой конец отрезка отрицательный, тогда в данном случае итогом будет

2.

так как при данных значениях выражение снова строго положительно, то неравенство примет вид:

По методу интервалов:

Таким образом, мы понимаем, что промежуток полностью содержится среди решений данного неравенства, значит, неравенство верно для всех

3.

в данном случае мы уже не можем утверждать, что будет строго больше нуля, и тем самым мы не можем избавиться от степени, неравенство примет вид:

Покажем, что данное неравенство не выполняется ни для каких

Пусть покажем, что

• — монотонно возрастающая функция, значит, для любого верно, что

  

• Исследуем на монотонность

  

  Таким образом, мы понимаем, что данная функция является монотонно возрастающей при и монотонно убывающей при причем, заметим, что симметрична относительно прямой отсюда получаем, что для любого верно

  

Отсюда, мы получаем, что для любого верно, что

Следовательно, данное неравенство не выполняется при данных значениях

Итогом является объединение промежутков из первых двух случаев, то есть

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».