Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45836

а) Решите уравнение log2(8x2)− log (2x)− 1 = 0.
  2         4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0,4;0,8].

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

а) По свойствам логарифма имеем:

    log22(8x2) =(log2(2 ⋅(2x)2))2 =

= (log22+ 2log2(2x))2 = (1 +2log2(2x))2 .

Также

log4(2x)=  1log2(2x).
         2

Тогда после замены t= log2(2x)  уравнение примет вид

(1 +2t)2− 1t− 1= 0
         2
    8t2+ 7t= 0
    ⌊     7
    | t= −8
    ⌈
      t= 0

Сделаем обратную замену:

⌊
 log (2x)= − 7
|⌈  2       8
 log2(2x)= 0
⌊
 2x= 2− 78
|⌈
 2x= 1
⌊       1
|x=  1⋅ 28
|⌈    2  2
 x=  1
     2
⌊    8√2-
||x=  4
⌈
 x= 0,5

б) Корень x= 0,5  лежит на отрезке [0,4;0,8].

Число √-
82< 2,  следовательно,

    -
1⋅√82< 1.
4      2

Тогда сравним 1⋅√82-
4  с 0,4:

 √82-  2
  4 ∨ 5
  8√-
5  2∨ 8
58⋅2∨ 88

  58∨ 223

6252∨ 10242 ⋅8

Следовательно,

   √-
1 ⋅ 82 < 0,4.
4

Значит, корень x= 1 ⋅ 8√2
   4  не лежит на отрезке [0,4;0,8].

Ответ:

а) 0,5; √ -
8-2
 4

б) 0,5

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!