Олимпиада им. Эйлера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.
Подсказка 1
Упорядочим числа. Если разность двух меньших чисел не превосходит трети суммы двух больших, то задача решена. А как доказать это в противном случае?
Подсказка 2
Верно! Если a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ a₄, то a₂ > a₂ - a₁, и в силу условия в рассматриваемом случае получаем, что a₂ > 2a₃/3. А что можно теперь сказать про разность a₃ и a₂?
Пронумеруем числа по возрастанию: 
Сравним 
и 
Если первое меньше, задача решена. Пусть
Тогда построим цепочку неравенств:
Отсюда получаем, что
Таким образом, в этом случае задача также решена.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
