Олимпиада им. Эйлера

Пример. Если взять числа то, как легко проверить, каждое из записанных на доске чисел будет равно или — всего 6 различных значений.

Оценка. Покажем, что меньше шести различных чисел на доске оказаться не могло. Пусть взяты числа . Тогда выполнены неравенства , что даёт пять различных чисел. Осталось доказать, что на доске есть число, отличное от этих пяти.

Покажем, что на доске найдётся либо число, большее , либо число, меньшее . Если , то , поэтому . Если , а , то . В оставшемся случае имеем и . Но тогда , откуда .