Олимпиада им. Эйлера
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
График 
, где 
, имеет с осью ординат общую точку 
, а ось абсцисс пересекает в точках 
и 
. Обозначим
через 
начало координат. Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте изобразим точки пересечения на координатной плоскости. C > 0 по условию, а X₁ и X₂ будут больше нуля, потому что x ≥ 0 из ограничения квадратного корня. Тогда оба треугольника CX₁O и CX₂O будут расположены в первой четверти и будут прямоугольными. Тогда как мы можем переписать условие ∠CX₁O + ∠CX₂O = 90° по-другому?
Подсказка 2
∠CX₂O = 90° - ∠X₂CO. Значит, условие мы можем переписать как ∠CX₁O = ∠X₂CO. Что мы можем сказать про треугольники CX₁O и CX₂O?
Подсказка 3
Треугольники CX₁O и CX₂O должны быть подобными. Из подобия следует, что OC² = OX₁ * OX₂. Как это можно доказать?
Подсказка 4
Для начала выразим OC, OX₁ и OX₂ через что-то общее. Наша функция является квадратным трехчленом при замене √x = t, пусть изначальная функция пересекает Ox в точках x₁ и x₂. Тогда корни относительно t это √x₁ и √x₂. Чему тогда будет равно OC, OX₁ и OX₂?
Пусть корни равны 
. Очевидно, что они положительны. Для наглядности изобразим точки из условия на графике:
Заметим, что равенство 
равносильно равенству 
, а оно в свою очередь равносильно подобию
и 
. Наконец, оно равносильно равенству 
, которое мы будем доказывать. Заметим, что данная
функция является квадратным трёхчленом относительно 
и имеет корни 
и 
, а значит по теореме Виета
. Также понятно, что 
, 
. Тогда при подстановке в равенство 
получим
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
