Олимпиада им. Эйлера
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вершина 
параллелограмма 
лежит на стороне 
параллелограмма 
Известно, что 
и 
Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Как можно воспользоваться условием AE=2CD?
Подсказка 2
Давайте отметим точку M - середину отрезка AE (так мы получим, что AM = CD). Что можно сказать про четырехугольник ADCM?
Подсказка 3
Он является равнобокой трапецией. Выведите из этого равенство углов FEM и MDC. Что теперь достаточно доказать про углы MDE и MEB, что завершить доказательство?
Подсказка 4
Достаточно показать их равенство. Как это можно сделать?
Подсказка 5
Можно доказать, что треугольник MDE и BME подобны. Как это можно сделать?
Подсказка 6
Из равенства AC=CD следует равенство углов ACD и CDA. Воспользуйтесь этим, чтобы показать, что углы BMA и AMD равны. Тем самым, мы покажем равенство углов BME и EMD. Осталось проверить равенство отношений соответствующих сторон
Первое решение. Пусть 
— середина отрезка 
Поскольку четырехугольник 
— параллелограмм, точка 
является
серединой отрезка 
Обозначим 
и 
Так как 
— равнобокая трапеция,
откуда мы получаем что 
и 
Кроме того, поскольку 
и 
равнобедренные треугольники 
и 
подобны, поэтому 
Треугольники 
и 
также подобны, так как
и 
Значит, 
откуда 
что и требовалось.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Как и в первом решении, введём точку 
и покажем, что 
— равнобокая трапеция. Отложим на луче 
отрезок 
Поскольку 
перпендикуляры, опущенные на 
из точек 
и 
равны,
откуда 
Поэтому четырёхугольники 
и 
— также равнобокие трапеции; в частности, 
вписана в некоторую окружность 
С другой стороны, поскольку отрезки 
и 
параллельны и равны, 
— параллелограмм, откуда 
Значит, 
— также равнобокая трапеция. Поскольку точки 
и
лежат на 
точка 
лежит на этой же окружности. Из вписанного четырёхугольника 
теперь получаем
Осталось заметить, что 
— параллелограмм (ибо 
параллелен и равен 
), откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
