Закл (финал) 9 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма положительных чисел 
равна 
Докажите неравенство:
Подсказка 1
Доказывать неравенство с дробями совсем неудобно! Умножим все на знаменатель правой части. Тогда справа останется 1, а как можно было бы ее заменить, чтобы доказывать не имеющееся неравенство, а более сильное?
Подсказка 2
Понятно, что для такой замены нужно использовать, что a + b + c + d = 3. Слева у нас различные произведения квадратов переменных. Значит, можно было бы попытаться и единицу из правой части заменить на произведение переменных в каких-нибудь степенях. А какое неравенство позволит связать 1 и произведения переменных?
Подсказка 3
Верно, неравенство о средних! Заметим, что ab(c+d) ≤ 1 по неравенству о средних. Тогда и квадрат левой части этого неравенства не превосходит 1, и значит, если заменить в исходном неравенстве 1 в правой части на (ab(c+d))² и доказать такое неравенство, то и нужное будет доказано. А как доказать такое неравенство?
Подсказка 4
Заметим, что перед нами симметрическое неравенство, значит, переменные можно упорядочить! В последнем неравенстве можно раскрыть скобочки! Как теперь доказать наше неравенство?
Домножив доказываемое неравенство на 
получим
Поскольку неравенство симметричное, можно считать, что 
По неравенству о средних для чисел 
и 
имеем
Следовательно, 
Значит, для доказательства (*) достаточно показать, что
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых остаётся неравенство
которое является суммой двух очевидных неравенств 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
