Закл (финал) 9 класс

Подсказка 1

Изначально у нас "слишком много свободы". Работать с тремя независимыми переменными трудно. Давайте считать, что число a уже дано. Как это помогает причесать исходное условие?

Подсказка 2

Числа b и c встречаются в исходном равенстве дважды, поэтому следить за ними не так просто. Можно ли преобразовать исходное равенство таким образом, чтобы они встречались в новом не более одного раза (число а при этом может встречаться произвольное число раз, мы же считаем его данным)?

Подсказка 3

Да, исходное равенство можно представить в виде n+a² = (b+a)(c+a). Как теперь можно сформулировать условие представимости для данных n и а?

Подсказка 4

Необходимо и достаточно, чтобы число n+a² представлялось в произведение двух натуральных, где каждое больше а. Вспоминая, что а произвольное, достаточно показать, что для данного n существует хотя бы одно a, для которого число n+a² раскладывается в произведение двух натуральных, где каждое больше а. Как исходя из этого, можно воспользоваться условием делимости n на k²?

Подсказка 5

Хотим положить a таким образом, чтобы каждое из двух множителей делилось на k. При этом a мы хотим сделать не очень большим, чтобы сделать множители большими, чем a было не очень сложно. Как это можно сделать?

Подсказка 6

Можно взять a наименьшим делителем k. Пусть n = lp² при некотором простом p. Докажите, что при l+1 > p работает соображение предыдущей подсказки. Как выглядят остальные случаи?

Подсказка 7

Число n представимо в виде (q-1)p² при некотором простом q < p+1. Разберем случай q < p. Воспользуйтесь представлением p = mq+r для натуральных m и q и преобразуйте полученное равенство.

Подсказка 8

Осталось разобраться со случаем p = q. Помните, что мы еще не пользовались условием на n>20.