Касание с окружностью и касание окружностей

Обозначим центры описанных окружностей треугольников через соответственно. Пусть — точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников и соответственно; обозначим через и середины отрезков и соответственно. Тогда в прямоугольной трапеции прямая — средняя линия, поэтому она является серединным перпендикуляром к отрезку Заметим, что окружность симметрична относительно прямой на которой также лежит точка значит, — центр

Аналогично получаем, что середина отрезка является центром Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что — параллелограмм. Для доказательства этого достаточно заметить, что и — серединные перпендикуляры к отрезкам и поэтому аналогично, откуда и следует требуемое.