Дискриминант и корни квадратных трёхчленов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два приведённых квадратных трёхчлена 
и 
известно, что трёхчлены 
, 
и 
имеют
по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена 
равна разности корней трёхчлена 
Докажите, что
разность корней трёхчлена 
не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается
меньший.)
Источники:
Подсказка 1:
Любой приведённый квадратный трёхчлен с двумя корнями можно записать в виде (x – p)² – q² для некоторых p, q. Чему равна разность его корней и наименьшее значение в этих терминах?
Подсказка 2:
Разность равна 2q, а наименьшее значение –q². Чтобы сделать такие же рассуждения с f(x) + g(x), стоит рассмотреть трёхчлен (f(x) + g(x)) / 2. Он приведённый и имеет те же корни, что и f(x) + g(x).
Подсказка 3:
Попробуйте сначала оценить минимальное значение (f(x) + g(x)) / 2, а потом перейти к разности корней.
Первое решение. Заметим, что разность корней приведённого квадратного трёхчлена 
равна корню из его дискриминанта, то
есть 
Пусть два данных трёхчлена — это
и
Согласно условию, у них общий дискриминант
Вместо суммы трёхчленов удобно рассмотреть их полусумму — она тоже является приведённым квадратным трёхчленом. Квадрат разности его корней (то есть дискриминант) равен:
Значит, он не больше, чем
Отсюда и следует, что разность корней полусуммы не больше, чем 
то есть разность корней каждого из данных
трёхчленов.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Заметим, что любой приведённый квадратный трёхчлен с двумя корнями имеет вид
при 
При этом разность его корней равна 
а его наименьшее значение равно 
Теперь условие означает, что два данных трёхчлена имеют равные наименьшие значения 
Наименьшее значение их полусуммы,
очевидно, не меньше 
(оно является полусуммой каких-то значений исходных трёхчленов), то есть оно равно 
при 
Поэтому и разность корней полусуммы, то есть 
не превосходит 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
