Закл (финал) 9 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы треугольника 
пересекаются в точке 
, внешние биссектрисы его углов 
и 
пересекаются в точке 
. Окружность
с центром в точке 
проходит через точку 
и касается прямой 
в точке 
Окружность 
с центром в точке 
проходит
через точку 
и касается прямой 
в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Найдите отношение
.
Источники:
Подсказка 1
Проведём окружность ω, описанную около треугольника ABC. Попробуйте рассмотреть случай, когда окружность ωb пересекает окружность ω в двух точках, причем второй раз в точке P.
Подсказка 2
Пусть CI пересекает AB в точке L. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой ∠BPI=∠BIL, а ∠BIL=∠IBC+∠ICB=90°-∠BAC / 2. Пускай PI пересекает окружность ω повторно в точке N. Что можно сказать про точку N?
Подсказка 3
Т.к. ∠BPI=90°-∠BAC / 2, то и ∠BPN=90°-∠BAC / 2. Отсюда следует, что N- середина дуги BAC. Заметим, что все переходы были равносильными, поэтому окружность ωb действительно повторно пересекает окружность ω в точке P. А в какой точке будет пересекать её окружность ωc?
Подсказка 4
В той же самой точке P! Ведь P определяется как пересечение окружности ω с прямой NI. А точки B и C равноправны относительно прямой NI и окружности ω. Пусть прямая AJ пересекает ω в точке S. Тогда NS- диаметр ω => NPS - прямой. В каком отношении тогда ObOc делит IP?
Подсказка 5
Пусть ObOc пересекает IP в точке Z. Т.к. линия центров перпендикулярна общей хорде и делит её пополам, то IZ=ZP и ObOc параллельна SP. Тогда прямая ObOc делит пополам IS. Осталось только вспомнить про лемму о трезубце, найти отношение IS/SJ и завершить решение!
Первое решение.
Проведём в окружности 
диаметр 
, а в окружности 
диаметр 
. Заметим, что 
, поскольку
внутренняя и внешняя биссектриса угла перпендикулярны. Следовательно, точка 
лежит на 
, а точка 
- на
.
Кроме того, 
, поскольку 
касается 
в точке 
, поэтому 
. Аналогично, 
. Итого, четырёхугольник
- параллелограмм, пусть его диагонали пересекаются в точке 
. Тогда 
, а отрезок 
- средняя линия
треугольника 
, поэтому точка 
середина отрезка 
. Таким образом, 
, откуда следует, что
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Обозначим через 
середину дуги 
описанной окружности 
треугольника 
, а через 
середину другой
её дуги 
. Пусть луч 
вторично пересекает 
в точке 
. Поскольку 
- диаметр окружности 
, то
.
По лемме о трезубце 
— середина отрезка 
. Поскольку 
и 
, то
Продлим луч 
до пересечения с 
в точке 
.
Так как 
внешний для треугольника 
, а также четырёхугольник 
- вписанный, мы получаем, что 
, поэтому окружность 
касается прямой 
в точке 
. Также эта
окружность проходит через 
, следовательно, это и есть окружность 
. Аналогично, окружность 
описана около треугольника
.
Значит, IP - общая хорда окружностей 
и 
, а тогда 
серединный перпендикуляр к отрезку 
. Поскольку к тому же
, мы получаем, что 
проходит через середину отрезка 
, то есть 
, а тогда 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
