Закл (финал) 9 класс

Первое решение.

Проведём в окружности диаметр , а в окружности диаметр . Заметим, что , поскольку внутренняя и внешняя биссектриса угла перпендикулярны. Следовательно, точка лежит на , а точка - на .

Кроме того, , поскольку касается в точке , поэтому . Аналогично, . Итого, четырёхугольник - параллелограмм, пусть его диагонали пересекаются в точке . Тогда , а отрезок - средняя линия треугольника , поэтому точка середина отрезка . Таким образом, , откуда следует, что .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим через середину дуги описанной окружности треугольника , а через середину другой её дуги . Пусть луч вторично пересекает в точке . Поскольку - диаметр окружности , то .

По лемме о трезубце — середина отрезка . Поскольку и , то

Продлим луч до пересечения с в точке .

Так как внешний для треугольника , а также четырёхугольник - вписанный, мы получаем, что , поэтому окружность касается прямой в точке . Также эта окружность проходит через , следовательно, это и есть окружность . Аналогично, окружность описана около треугольника .

Значит, IP - общая хорда окружностей и , а тогда серединный перпендикуляр к отрезку . Поскольку к тому же , мы получаем, что проходит через середину отрезка , то есть , а тогда .