Оценка + пример
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество
воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких 
можно утверждать, что на столе найдутся два
сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на 
л?
Источники:
Подсказка 1:
Нужно получить какую-то оценку на α, учитывая, что в каждом ряду суммарно 1 литр воды. Попробуйте предположить, что количество воды в любых двух сосудах отличается больше, чем на α. Оцените α при таких условиях.
Подсказка 2:
Хорошей идеей будет упорядочить сосуды по возрастанию количества воды в них. Ясно, что если сосуд стоит на i-м месте в упорядоченном ряду, в нём более i • α воды. Как связать это с тем, что в каждом ряду суммарно 1 литр воды?
Подсказка 3:
С помощью принципа Дирихле можно найти максимальное число M, для которого всегда найдется ряд, сумма индексов которого не меньше M. Это даст оценку на α. Также не забудьте придумать пример, показывающий, что меньшие α не подойдут.
Предположим, что количество воды в любых двух сосудах отличается больше, чем на 
л. Пусть 
— количества воды в
сосудах; назовём индексом сосуда его номер в этом ряду. Заметим, что 
и по нашему предположению 
отсюда
получается, что 
при 
Сумма всех индексов равна
поэтому найдётся ряд, сумма индексов в котором не меньше, чем 17. Из неравенств выше получаем, что суммарное
количество воды в этом ряду больше, чем 
откуда 
Итак, при всех значениях 
утверждать требуемое
можно.
С другой стороны, если распределить воду по рядам как
то количества воды в любых двух сосудах будут отличаться минимум на 
л. Поэтому при всех 
утверждать требуемое
нельзя.
При 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
