Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить конечное число узлов сетки так, чтобы было отмечено не менее двух точек, и для любой пары отмеченных точек нашлась бы отмеченная точка, равноудалённая от них?
Источники:
Подсказка 1:
Давайте раскрасим узлы в шахматном порядке и введём систему координат вдоль узлов сетки. Какие интересные наблюдения можно сделать?
Подсказка 2:
Могут ли быть отмечены узлы разных цветов?
Подсказка 3:
Пусть отмеченные точки A и B разных цветов, а C — равноудалена от них. Что можно сказать про чётность CA² и CB²?
Подсказка 4:
Итак, вы поняли, что все отмеченные узлы одного цвета. Предлагается следующая интересная идея. Что если через каждый узел этого цвета провести прямые с угловыми коэффициентами ±1 и рассмотреть новую сетку, образованную ими? Какие можно сделать наблюдения?
Подсказка 5:
Например, все отмеченные узлы принадлежат новой сетке. А если продолжить такие махинации, не возникнет ли противоречие?
Предположим, что требуемое возможно. Введём систему координат так, чтобы узлы являлись в точности точками с целыми координатами.
Раскрасим узлы сетки в шахматном порядке. Предположим, что нашлись два отмеченных узла разных цветов: 
— белый, 
—
чёрный. Пусть нашёлся узел 
, равноудалённый от них, и пусть, не умаляя общности, 
— белый. Тогда у вектора 
координаты
одной чётности, значит, по теореме Пифагора 
равно сумме квадратов целых чисел одной чётности, т.е. 
чётно. Аналогично
рассуждая, получаем, что 
нечётно —– противоречие.
Итак, все отмеченные узлы имеют один цвет. Проведём через все узлы этого цвета прямые с угловым коэффициентом 
— получилась
новая квадратная сетка с шагом (длиной стороны квадрата) 
Видим, что отмеченные точки являются узлами этой новой сетки.
Продолжая рассуждать аналогично, получим, что отмеченные узлы лежат на квадратной сетке с шагом 
…. Но шаг сетки не может превышать константы — расстояния между двумя фиксированными отмеченными точками.
Противоречие.
Нельзя.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
