Вписанные углы и счёт углов в окружности

Первое решение. Без ограничения общности можно считать, что лучи и и пересекаются. Пусть отрезки и пересекаются в точке а также — четырёхугольник, образованный прямыми Также обозначим через пересечение и через — пересечение и

Пусть Из вписанности четырёхугольника и условий имеем:

Значит, во-первых, точки лежат на одной окружности, обозначим её во-вторых, точки лежат на одной окружности, обозначим её в-третьих, точки лежат на одной окружности, обозначим её Заметим, что точка — радикальный центр окружностей (поскольку она лежит на прямых и точка — радикальный центр окружностей (так как она лежит на прямых и Таким образом, — радикальная ось окружностей и —радикальная ось окружностей и — радикальная ось окружностей и поэтому эти три прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Второе решение. Введём обозначения как в первом решении. Для точки плоскости обозначим через разность степеней точки относительно окружностей и Поскольку — радикальная ось окружностей и то достаточно доказать, что Кроме того, легко видеть, что и

Заметим, что функция — линейная, то есть для точки на отрезке выполнено равенство Мы докажем это утверждение позднее. Пока, применив его для точек мы получим, что

Таким образом, достаточно доказать, что .

Заметим, что

(последнее равенство следует из того, что через мы обозначаем расстояние от точки до прямой Следовательно, равенство () переписывается в виде:

Из вписанности четырёхугольника и данных в условии параллельностей прямых следуют равенства углов:

Таким образом, и а также и подобны по двум углам. Из подобия получаем равенства отношений

остаётся лишь перемножить эти равенства.

Вернёмся к доказательству линейности функции Введём декартовы координаты таким образом, чтобы центры окружностей и лежали на оси абсцисс, пусть их координаты будут и а радиусы окружностей и Тогда для произвольной точки с координатами по определению степени точки мы получаем, что где и — две константы. Если точка лежит на отрезке и , — координаты точек и по оси абсцисс, то откуда немедленно следует (*).