Вписанные углы и счёт углов в окружности

Пусть прямая повторно пересекает окружность в точке Тогда прямая, проведённая по условию через — серединный перпендикуляр к хорде пусть она пересекает стороны и в точках и а прямая через из условия задачи пересекает их в точках и Поскольку то окружность касается окружности в точке При симметрии относительно окружность переходит в себя, а окружность переходит в окружность тогда она тоже касается окружности

Поскольку то Следовательно, четырёхугольник — вписанный. Тогда Значит, в силу сказанного выше, поэтому точка лежит на окружности Аналогично, на этой окружности лежит и точка откуда и следует требуемое.

Замечание. Можно рассуждать несколько иначе: установить (похожими равенствами углов), что точки лежат на одной окружности, а также что окружности и касаются окружности в точке Однако эти три окружности не могут быть различными, поскольку в таком случае их радикальные оси не пересекаются в одной точке, в чём нетрудно убедиться. Значит, все эти окружности совпадают, что нам и требовалось.