14.20 Метод объемов

а) Назовем плоскость плоскостью Так как пересечет параллельные плоскости по параллельным прямым, то плоскость она пересечет по прямой Следовательно, — середина Тогда — сечение параллелепипеда плоскостью

Прямые и пересечения плоскостей и пересекаются в одной точке. Назовем эту точку точкой Рассмотрим две треугольные пирамиды: и Пусть Тогда

где и требуется доказать, что

Проведем и — перпендикуляры к Так как то Действительно, прямая следовательно, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и плоскостью Следовательно, как прямоугольные по острому углу Из подобия уже следует вышесказанное отношение.

по стороне и двум углам, следовательно, их площади равны. Следовательно, если то

Тогда ()

Следовательно,

б) Пусть — искомое расстояние. Тогда для пирамиды

• 

• Найдем

  Заметим, что — квадрат. Пусть — точка пересечения его диагоналей. Тогда Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах

  

  Следовательно,

  

Тогда