Тема Механика. Колебания

01 Колебания с сухим трением

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела механика. колебания

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46535

Пружина жесткостью $k = 200 Н/ м$ прикреплена одним концом к бруску массой $m = 2 кг$ , который располагается на горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения $μ = 0,05$ , а другим концом к стене. Система находится в равновесии. Брусок отводят в сторону, растягивая пружину, на расстояние $A0 = 15 см$ и отпускают. Найдите через какое время брусок полностью прекратит движение?

Показать ответ и решение

На брусок действуют: сила трения, сила упругости, сила нормальной реакции опоры, сила тяжести. Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на горизонтальную ось:

− kx + μmg = max

Cила трения хоть и является постоянной по значению, но является не постоянной по направлению. То есть в другом случае будет:

− kx − μmg = max

Решим первое уравнение:

( ) a + -k x − μmg-- = 0 x m k

Пусть

μmg y = x − ----- k

¨y = ¨x ⇒ y = A cos(ωt) ⇒ x = μmg--+ A cos(ωt ) k

Для второго уравнения:

μmg-- x = − k + A cos(ωt )

Также циклическая частота совпадает с циклической частотой обычного пружинного маятника, то есть:

∘ --- -k ω = m

График колебаний будет выглядеть следующим образом (см. рисунок), причём колебания будут происходить до попадания в область «застоя», то есть когда:

μmg-- μmg-- k|x| ≤ μmg ⇒ − k ≤ x ≤ k

Эта область как раз таки изображена штриховкой на графике.

Запишем закон об изменения энергии за пол периода для n-ого колебания:

2 2 kA-n= kA-n+1-+ μmg (An + An+1 ) 2 2

Отсюда получаем:

2μmg-- An+1 = An − k

μmg 0,005 ⋅ 2 ⋅ 10 ----- = -------------= 0,5 см k 200

То есть за каждые пол периода амплитуда уменьшается на 1 см. То есть, амплитуда станет удовлетворять условию застоя когда упадет до нуля, значит нужно затратить время равное $7,5T$ . То есть:

∘ m-- τ = 15π -- ≈ 4,7 с k

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46536

На наклоненной под углом $α$ ( $cosα = 3∕4$ ) к горизонту поверхности лежит брусок, прикрепленный к упругой невесомой и достаточно длинной пружине (см. рис.). Коэффициент трения бруска о поверхность $μ = 1∕6$ . Брусок отклоняют вниз вдоль поверхности на расстояние $A = 35 см 0$ от точки $O$ , соответствующей положению равновесия бруска при отсутствии трения. Затем брусок отпускают, и начинаются затухающие колебания. Если брусок подвесить на этой пружине, то она удлиняется на $x0 = 32 см$ .
1) На каком расстоянии от точки $O$ окажется брусок при первой остановке?
2) На каком расстоянии от точки $O$ брусок остановится окончательно?
3) Через какое время брусок остановится окончательно?
(«Физтех», 2017, 11)

Показать ответ и решение

1) Пусть при отсутствии силы трения брусок уравновешен при растяжении пружины равном $x1$ , тогда:

mg sinα = kx1

2) Из условия равновесия когда брусок подвешен:

mg x0 = ---- k

3) Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на направление вдоль наклоненной поверхности при движении бруска вверх:

k − k(x + x1) + mg sinα − μmg cos α = max ⇒ ax + --x + μg cos α = 0 m

Тогда можно утверждать, что $∘ --- k ω = -- m$ . Найдём на сколько изменяется амплитуда за пол периода. Запишем теорему об изменении кинетической энергии:

k(A0 + x1)2 k(A1 − x1)2 ------------− ------------− mg sinα (A0 + A1 ) − μmg cosα (A0 + A1 ) = 0 2 2

k-(A0 + x1 − A1 + x1 )(A0 + x1 + A1 − x1) − mg sinα (A0 + A1 ) − μmg cos α(A0 + A1 ) = 0 2

k -(A0 − A1 ) + kx1 − mg sinα − μmg cosα = 0 2

k-(A − A ) − μmg cosα = 0 ⇒ A = A − 2μmg--cosα-= 27 см 2 0 1 1 0 k

Аналогично можно проверить, что при движении вниз амплитуда уменьшается на ту же величину. Определим зону «застоя»:

k |x| ≤ μmg cosα ⇒ − μmg--cos-α ≤ x ≤ μmg--cosα- k k

μmg cos α ---------- = 4 см k

Рассчитаем амплитуды через каждые пол периода, пока не получим, что брусок вошел в зону «застоя»:

A0 = 35 см; A1 = 27 см; A2 = 19 см; A3 = 11 см; A4 = 3 см

То есть брусок окончательно остановится при амплитуде: $A4 = 3 см$ . Найдём время до остановки:

∘ --- τ = 4 ⋅ T = 4π m- = 2,25 с 2 k

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Второй закон Ньютона	2

Формула силы упругости	2

Записана теорема об изменении кинетической энергии	2

Рассчитаны амплитуды и описаны колебания	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания