19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть Мите выпало 15 раз число 1, 15 раз число 3 и 15 раз число 4. Тогда всего он совершил бросков, а их результат равен

Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «0».

б) Разобьем броски на пары «четное число – нечетное число». Мы можем это сделать, так как по условию четное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно поскольку наибольшее нечетное число на кубике равно 5, а наименьшее четное равно 2.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «–35», необходимо не менее пар. Поскольку число пар целое, их не менее 12. Но давайте поймем, что внутри пары шаг обязательно равен нечетному числу, так как мы вычитаем из нечетного числа четное. То есть за 12 таких пар мы переместимся 12 раз на нечетное число шагов, что является четным числом в сумме, но — число нечетное, поэтому пар не менее 13. То есть всего бросков не менее 26. Для 13 пар предоставим пример.

Пусть Мите выпало 13 раз число 5, 12 раз число 2 и 1 раз число 6. Тогда его фишка оказалась на отметке

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано бросков, то есть выпало четных и нечетных чисел.

Пусть выпало единиц, троек, четверок, шестерок. Тогда количества пятерок и двоек однозначно восстанавливаются — это и соответственно.

Значит, позиция фишки будет равна

Так как каждое число выпало не менее 1 раза, причем все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства:

Тогда

Откуда

Таким образом, всего Митя сделал не менее бросков.

Причем равенство достигается при Тогда число 1 было выброшено 1 раз, число 3 — 3 раза, число 5 — 18 раз, число 6 — 2 раза, число 4 — 4 раза, число 2 — 16 раз.

Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причем как четные, так и нечетные числа выпали по 22 раза. Итоговая позиция фишки равна

Итого, Митя сделал 44 броска, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «–40».