19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Поймем, что ровно две отметки имеют числа, которые кратны каким-то двум числам, но не кратны сразу трем.

Сразу на три представленных числа делятся числа, кратные 60. Среди чисел от 1 до 200 не включительно их 3 — это 60, 120, 180. Тогда будем вычитать это количество во всех последующих подсчетах.

Теперь посчитаем количество чисел с двумя отметками.

• Числа, кратные 3 и 4, то есть кратные 12, но не кратные 5.

  Их среди чисел менее 200 ровно поскольку 192 — наибольшее число до 200, кратное 12.

• Числа, кратные 3 и 5, то есть кратные 15, но не кратные 4.

  Их среди чисел менее 200 ровно поскольку 195 — наибольшее число до 200, кратное 15.

• Числа, кратные 4 и 5, то есть кратные 20, но не кратные 3.

  Их среди чисел менее 200 ровно поскольку 180 — наибольшее число до 200, кратное 20.

Итого имеем чисел. Так как то среди общего числа карточек наибольшее возможное количество карточек с числами меньше 200 равняется 29.

б) Исходя из условия, имеется 20 чисел, кратных 12, 20 чисел, кратных 15, 20 чисел, кратных 20, при этом нет ни одного числа, кратного 60.

Отметим, что для оценки максимального числа нам достаточно оценить только максимальное число среди тех, что кратны 20, так как это произведение наибольшее. То есть если в найденном промежутке найдется 20 чисел, кратных 20, но не кратных 60, то 20 чисел, кратных 12, и 20 чисел, кратных 15, но не кратных 60, тоже найдутся.

Каждое число, кратное 20, имеет вид

Поймем, что имеет вид или где так как не может быть кратно 3.

Тогда каждое образует два подходящих числа. Так как чисел 20, то необходимо использовать не менее 10 различных значений Тогда наименьшее возможное наибольшее значение равняется 9, так как целых чисел от 0 до 9 ровно 10. Тогда наибольшее никак не может быть меньше, чем а наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках, никак не может быть меньше, чем

в) По условию среди чисел на карточках ровно 45 кратны либо 20, либо 12. Также оставшиеся 15 чисел кратны 15, но не кратны 60.

Разобъем множество натуральных чисел на следующие отрезки:

Рассмотрим сначала первый отрезок: в нем 2 числа, кратных 20 и 4 числа, кратных 12, при условии, что эти числа не делятся на 60.

Так как 60 — наименьшее общее кратное 12 и 20, то остальные отрезки аналогичны первому, ведь каждое число на отрезке, начинающемся с представимо в виде Причем дает такой же остаток при делении на 12, как и аналогично дает такой же остаток при делении на 20, как и поскольку делится и на 12, и на 20, то есть на остатки при делении не влияет.

Тогда на каждом таком отрезке лежит ровно 6 подходящих чисел. Тогда необходимо использовать не менее 8 отрезков, так как подходящих чисел должно быть 45.

В последнем отрезке достаточно выбрать три наименьших числа, которые эквивалентны числам 12, 20, 24 из первого отрезка. Отрезок с номером 8 имеет значение так как чисел от 0 до 7 ровно 8.

Тогда наименьшее возможное значение наибольшего подходящего числа равняется

Также необходимо показать, что среди чисел до 444 найдется 15, кратных 15, но не кратных 60. Так как на каждом выделенном отрезке ровно 3 подходящих числа, соответствующих числам 15, 30, 45 на отрезке то среди 7 отрезков (чтобы не включать неполный 8-ой, рассматриваем только первые 7), найдется подходящих чисел.