19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Поймем, что ровно две отметки имеют числа, которые кратны каким-то двум числам, но не кратны сразу трем.

Сразу на три представленных числа делятся числа, кратные 60. Среди чисел от 1 до 200 не включительно их 3 — это 60, 120, 180. Тогда будем вычитать это количество во всех последующих подсчетах.

Теперь посчитаем количество чисел с двумя отметками.

• Числа, кратные 3 и 4, то есть кратные 12, но не кратные 5.

  Их среди чисел менее 200 ровно поскольку 192 — наибольшее число до 200, кратное 12.

• Числа, кратные 3 и 5, то есть кратные 15, но не кратные 4.

  Их среди чисел менее 200 ровно поскольку 195 — наибольшее число до 200, кратное 15.

• Числа, кратные 4 и 5, то есть кратные 20, но не кратные 3.

  Их среди чисел менее 200 ровно поскольку 180 — наибольшее число до 200, кратное 20.

Итого имеем чисел. И еще есть 3 числа, которые имеют сразу 3 отметки. Итого Так как то среди общего числа карточек наибольшее возможное количество карточек с числами, которые меньше 200, равняется 32.

б) Исходя из условия, имеется чисел, кратных 12, чисел, кратных 15, чисел, кратных 20, при этом среди перечисленных чисел нет ни одного числа, кратного 60.

Также, так как каждая карточка имеет не менее двух отметок, а в сумме карточек 60, еще у чисел ровно 3 отметки.

Отметим, что для оценки максимального числа нам достаточно оценить только максимальное число среди тех, что кратны 20, так как это произведение наибольшее. То есть если в найденном промежутке найдется чисел, кратных 20, но не кратных 60, то чисел, кратных 12, и чисел, кратных 15, но не кратных 60, тоже найдется.

Поймем, что, если имеется чисел, кратных 60, то наибольшее среди этих чисел не меньше

Также при наличии чисел, кратных 20, но не кратных 60, если то есть — четное, то наибольшее среди этих чисел не меньше

так как числа, кратные 20, но не кратные 60, имеют вид и Если же то наибольшее среди этих чисел не меньше

Тогда наибольшее число среди всех чисел на карточках удовлетворяет следующему условию:

То есть

Так как один из аргументов функции возрастает по а другой убывает, то наименьшее значение этой функции достигается при равенстве аргументов

Так как целое, то наименьшее значение функции нужно искать среди ближайших целых чисел:

• 

  

• 

  

Тогда имеем причем такая оценка справедлива, так как четно, то есть оценка на является точной.

Тогда мы имеем по 18 карточек, имеющих ровно 2 отметки, и еще 6 карточек на 3 отметки. Эти 6 карточек — числа

Тогда 18 карточек с числами, кратными 20, — это карточки с числами вида и для Каждое значение даст ровно 2 подходящих числа, а значений всего 9, то есть чисел получится 18. Наибольшее из них — это

Как было оговорено выше, чисел меньше 520 для остальных карточек будет достаточно, поэтому можно не указывать их в явном виде.

в) По условию среди чисел ровно 37 кратны либо 20, либо 12. Также оставшиеся 23 числа кратны 15.

Разобъем множество натуральных чисел на следующие отрезки:

Рассмотрим сначала первый отрезок: в нем 2 числа, кратных 20 и 4 числа, кратных 12, при условии, что эти числа не делятся на 60.

Так как 60 — наименьшее общее кратное 12 и 20, то остальные отрезки аналогичны первому, ведь каждое число на отрезке, начинающемся с представимо в виде Причем дает такой же остаток при делении на 12, как и аналогично с числом 20 (поскольку делится и на 12, и на 20, то есть на остатки при делении не влияет).

Тогда на каждом таком отрезке лежит ровно 6 подходящих чисел. Тогда необходимо использовать не менее 7 отрезков, так как чисел должно быть 37.

В последнем отрезке достаточно выбрать наименьшее число, которое эквивалентно числу 12 из первого отрезка. Отрезок с номером 7 имеет значение так как чисел от 0 до 6 ровно 7.

Тогда наибольшее число равняется

Также необходимо показать, что среди чисел до 372 найдется 23, кратных 15. Так как на каждом выделенном отрезке ровно 4 подходящих числа, то среди 6 отрезков (чтобы не включать неполный 7-ой, рассматриваем только первые 6), найдется подходящих чисел.