19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пронумеруем спортсменов с 1 по 10 места и нарисуем таблицу. Для удобства первое место будем называть золотом, второе — серебром, третье — бронзой.

Легко проверить, что обоими способами участники между собой сравнимы, более того, они имеют именно такой порядок мест.

Причем каждой медали выдано ровно по 10 штук, также каждый спортсмен заработал не более 10 медалей, то есть такая конфигурация заработанных наград возможна.

б) Для начала поймем, что сумма очков среди всех участников равна 150, так как каждого типа медалей было ровно по 10 штук, 10 золотых дают 100 очков, 10 серебряных — 40 очков, 10 бронзовых — 10 очков.

Теперь давайте предположим, что разрыв очков между 10-м и 9-м местами равняется Тогда у 9 места не менее очков.

Так как количество очков у участников попарно различается и является целым числом, то у 8-го места не менее очков, у 7-го места не менее и так далее очков. Но тогда суммарное количество очков не менее

Причем должно выполняться неравенство:

Так как — целое число, то

Предоставим пример для

Отметим, что в данном пункте необязательно выполнение сохранности порядка участников при другом способе сравнения. Также отметим, что такая конфигурация возможна, так как каждая медаль встречается ровно 10 раз и нет участника, который получил бы более 10 медалей.

в) Поймем, что аналогично рассуждениям пункта а) суммарное количество баллов не изменяется от распределения медалей и равняется

Сам средний балл равен

Действительно, не менее трех участников получают положительное количество баллов, так как в одном этапе три разных человека получают медали. Причем ровно три участника могут получить положительное количество баллов, например, одинаково выступить на всех 10 этапах, где по итогу один участник получит 10 золотых медалей, другой — 10 серебряных, третий — все бронзовые.

А расширить количество до любого числа в пределах 10 можно, например, тривиально передав некоторые бронзовые медали другим участникам.

Тогда нужно найти числа на отрезке с наибольшим числом делителей на отрезке Отметим, что необязательно любое число на отрезке можно получить в качестве суммарного количества очков, так как оно как минимум кратно 10, поэтому будем рассматривать только числа, кратные 10.

Отметим, что на отрезке нет числа, которое делилось бы на все целые числа от 3 до 10, так как тогда оно должно делиться на 7, 9 и 10, но наименьшее общее кратное этих чисел равняется 630, что выходит за пределы отрезка.

Рассмотрим теперь случай делимости на 7 из 8 чисел.

Отметим, что делимость любого числа с 7 различными целыми значениями на 3, 4, 5, 6 однозначно определяется, ведь среди чисел от 3 до 10 есть числа, кратные 3, 4, 5. То есть взаимная простота числа с одним из чисел из этого множества гарантирует взаимную простоту числа с еще одним числом из отрезка от 3 до 10 (числу 3 соответствует число 6, числу 4 — 8, а числу 5 — 10). Тогда делителей окажется меньше 7. А число 6 есть среди делителей числа поскольку оно четно (более того, кратно 4) и кратно 3.

Тогда мы знаем, что число кратно 4, 6, 10 (делимость на 10 отмечена выше) и лежит в отрезке

Тогда оно точно не может делиться на 7, так как наибольшее общее кратное 4, 6, 7 и 10 равняется 420.

Тогда число делится на все остальные числа из отрезка.

Но наибольшее общее кратное чисел 8, 9, 10 равняется 360, что уже больше 270. То есть этот случай невозможен.

На выбранном отрезке есть числа, делящиеся на 6 из 8 выбранных чисел. Это числа 180 и 240. Получаются они исключением из множества делителей либо 8, либо 9.

Действительно, 180 — это наименьшее общее кратное чисел на отрезке от 3 до 10, не включая 8 и 7. А 240 — наименьшее общее кратное чисел на том же отрезке, за исключением чисел 7 и 9.

Для получения числа 180 необходимо условие

Это пары

Для получения числа 240 необходимо условие

Это пары