19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов.
По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен
второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен
занимает 
первых, 
вторых и 
третьих мест. В зависимости от мест, занятых
спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг
соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается
очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если
количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но
для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись
следующим образом. Если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих
мест соответственно равно 
и 
а у спортсмена-2 — 
и 
то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих
случаях:
и 
и 
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
a) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух
спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у
любых двух спортсменов не меньше 
Найдите наибольшее возможное значение
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средним арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.
Источники:
а) Пронумеруем спортсменов с 1 по 10 места и нарисуем таблицу. Для удобства первое место будем называть золотом, второе — серебром, третье — бронзой.
| № | З | С | Б | Сумма очков |
| 1 | 0 | 10 | 0 | 40 |
| 2 | 2 | 0 | 3 | 23 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 7 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 8 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 9 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 10 |
Легко проверить, что при подсчете рейтинга способом этого года наивысший рейтинг имеет участник без золотых медалей с 40 баллами. Причем наименьший рейтинг имеет ровно один игрок с 10 баллами.
Если же определять рейтинг по методу прошлого года, то наименьший рейтинг был бы у игрока под номером 1, так как у него единственного нет золотых медалей. А наивысший рейтинг будет у игрока под номером 2, так как у него единственного более 1 золотой медали.
Причем каждой медали выдано ровно по 10 штук, также каждый спортсмен заработал не более 10 медалей, то есть такая конфигурация заработанных наград возможна.
б) Положим 
Тогда у игрока с наименьшим количеством очков
не менее 0 очков, у второго с конца — не менее 4 очков и так далее. У
игрока с наибольшим количеством очков в таком случае не менее 
очков.
Тогда суммарное количество очков всех игроков не менее
Причем суммарное количество очков равняется 
так
как всего 10 золотых, 10 серебряных и 10 бронзовых медалей. Но 
то
есть 
Тогда наибольшее возможное значение 
— это 3. Приведем
пример:
| № | З | С | Б | Сумма очков |
| 1 | 3 | 2 | 0 | 38 |
| 2 | 2 | 2 | 0 | 28 |
| 3 | 2 | 0 | 1 | 21 |
| 4 | 1 | 2 | 0 | 18 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 15 |
| 6 | 1 | 0 | 2 | 12 |
| 7 | 0 | 2 | 1 | 9 |
| 8 | 0 | 1 | 2 | 6 |
| 9 | 0 | 0 | 3 | 3 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Видим, что между соседями разность очков не меньше 3, то есть условие на
выполнено, так как разность между не соседями больше разности между
соседями.
Причем каждой медали выдано ровно по 10 штук, также каждый спортсмен заработал не более 10 медалей, то есть такая конфигурация заработанных наград возможна.
в) Поймем, что искомая разность в точности равняется разности суммы
рейтингов 5 участников с наименьшим рейтингом и 5 участников с наибольшим
рейтингом, деленной на 5. Тогда давайте минимизировать эту разность. Пусть она
равняется 
Поймем, что 
так как иначе пусть 
(
— целое
число, поэтому такое отрицание имеет место). Тогда пусть сумма очков нижней
пятерки равняется 
тогда сумма очков верхней пятерки равняется 
Тогда
Так как сумма очков — целое число, то 
Тогда наименьшее количество
очков, которое может быть у 5-го с конца игрока (то есть лучшего в нижней
пятерке), равняется 15. Действительно, иначе наибольшее количество очков в
нижней пятерке не превышает
Но тогда в верхней пятерке суммарное число очков не меньше
Тогда суммарное число очков будет не меньше чем
Это невозможно. Тогда минимально возможное значение 
— это 
Приведем пример:
| № | З | С | Б | Сумма очков |
| 1 | 2 | 0 | 2 | 22 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 19 |
| 3 | 1 | 2 | 0 | 18 |
| 4 | 0 | 4 | 0 | 16 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 15 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 14 |
| 7 | 1 | 0 | 3 | 13 |
| 8 | 1 | 0 | 2 | 12 |
| 9 | 1 | 0 | 1 | 11 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 10 |
Видим, что сумма очков верхней пятерки равняется
Сумма очков нижней пятерки равняется
То есть разность средних арифметических сумм очков этих двух групп равняется
Причем каждой медали выдано ровно по 10 штук, также каждый спортсмен заработал не более 10 медалей, то есть такая конфигурация заработанных наград возможна.
Тогда искомое значение равняется 6.
а) Да
б) 3
в) 6
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
