19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Вычислим общую массу камней:

Пусть масса камней в первой группе равна тонн, тогда во второй тонн, а в третьей — тонн. Тогда имеем уравнение:

Тогда в первой группе суммарный вес камней должен составлять 112 тонн, во второй — 100 тонн и в третьей — 124 тонны.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть в первой группе 1 камень весом 100 тонн, 3 камня весом 4 тонны. Во второй группе 1 камень весом 100 тонн. Тогда в третьей группе 6 камней по 20 тонн и 1 камень весом 4 тонны.

Получим, что в первой группе суммарный вес камней равняется тоннам, во второй группе суммарный вес камней равняется 100 тоннам, а в третьей группе тоннам. Необходимое условие выполнено.

б) Суммарная масса всех камней равна 336 тонн. Значит, если массы групп равны, то они равны 112 тоннам.

Заметим, что камни по 100 тонн и по 20 тонн имеют вес, кратный 5. Причем в каждой группе суммарный вес камней дает остаток 2 при делении на 5. Так как камни по 100 тонн и по 20 тонн остаток суммы при делении на 5 не меняют, на него влияют только камни по 4 тонны. Но 1 камень дает остаток 4, а два камня дают остаток 3 при делении на 5. Тогда в каждой группе должно быть не менее трех камней весом по 4 тонны, но групп 3, то есть таких камней должно быть не менее 9, а их всего 4.

Тогда такое невозможно.

в) Пусть вес камней в первой группе равняется тонн, во второй — тонн. Тогда вес третьей группы камней — тонн.

Поймем, что поскольку в случае, если получим так как причем равенство достигается, только когда все кучи равны, что невозможно из пункта б). Но так как суммарный вес камней в группе точно кратен 4, так как вес каждого камня кратен 4, то так как это наибольшее число, меньшее 112 и кратное 4.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что

Также отметим, что Такой вывод можно сделать, сложив неравенства и

Поймем, что при так как 116 дает остаток 16 при делении на 20, все 4 камня, дающие остаток 4 при делении на 20, должны быть в первой куче, так как остальные камни имеют вес, кратный 20, то есть остаток не меняют. Но тогда так как это наибольшее число, меньшее 108 и кратное 20. В таком случае получим

Если то суммарный вес оставшихся двух куч равняется тонн. Тогда если то и что дает оценку на А при оценка на не улучшается.

А если же и то опять получим

Тогда Приведем пример.

В первой группе лежит 1 камень весом 100 тонн, один камень весом 20 тонн. Во второй группе лежит один камень весом 100 тонн и 3 камня весом по 4 тонны. В третьей группе лежит 5 камней весом 20 тонн и 1 камень весом 4 тонны. Получим группы с весами 120, 112 и 104 тонны. Тогда и То есть