19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть в первом наборе были числа 1, 5, 33, 15, 15. Сумма чисел в этом наборе 69. Во втором наборе получим числа 11, 55, 3, 3, 3. Сумма чисел в этом наборе равняется То есть выполнение условия возможно.

б) Рассмотрим числа 3 и 71. Сумма чисел в наборе В новом наборе будут числа 33 и 4. Сумма этих чисел То есть такое возможно.

в) Разделим первый набор чисел на две группы: однозначные и двузначные. Преобразование для однозначного числа делает из числа число Обозначим однозначные числа первого набора Двузначные числа первого набора — .

Пусть Тогда отношение суммы второго набора к сумме первого набора равняется:

Обозначим

Тогда отношение выше равно

Докажем следующий факт:

Так как в первом наборе нет одинаковых чисел, а возможных цифр всего 5, то количество однозначных чисел в первом наборе не превышает 5, то есть

Причем тогда

Так как все цифры из множества не меньше 1 (так как 0 в записи по условию не используется), то можно оценить число и число снизу значением так как в каждой сумме чисел не меньше 1.

То есть

Теперь имеем:

Тогда достаточно доказать следующее:

Мы пришли к тождественному неравенству. Тогда рассматриваемое отношение не превышает 5. Равенство достигается, когда все приведенные выше оценки также обращаются в равенство. То есть Значит, в первом наборе два числа — это 9 и 11. Тогда во втором наборе будут числа 99 и 1. Сумма первого набора 20, а сумма второго 100. Действительно, отношение суммы второго набора к сумме первого набора равняется 5.