19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть в первом наборе написаны числа Тогда во втором наборе получатся числа

Сумма чисел в первом наборе равна а сумма чисел во втором наборе равна Что и требовалось.

б) Рассмотрим числа 33 и 7. Сумма чисел в наборе В новом наборе будут числа 3 и 77. Сумма этих чисел То есть такое возможно.

в) Разделим первый набор чисел на две группы: однозначные и двузначные. Преобразование для однозначного числа делает из числа число Обозначим однозначные числа первого набора Двузначные числа первого набора —

Пусть Тогда отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется:

Обозначим

Тогда отношение выше равно

Докажем следующий факт:

Так как в первом наборе нет одинаковых чисел, а возможных цифр всего 5, то количество однозначных чисел в первом наборе не превышает 5, то есть

Причем тогда

Так как все цифры из множества не меньше 1 (так как 0 в записи по условию не используется), то можно оценить число снизу значением так как в этой сумме чисел не меньше 1.

При этом значение можно оценить сверху числом так как все цифры из множества не превышают 9, а в этой сумме чисел не больше 9. То есть

Теперь имеем:

Тогда достаточно доказать следующее

Мы пришли к тождественному неравенству. Тогда рассматриваемое отношение не превышает 5,75. Равенство достигается, когда все приведенные выше оценки также обращаются в равенство. То есть Значит, в первом наборе два числа — это 91 и 1. Тогда во втором наборе будут числа 5 и 11. Сумма первого набора 92, а сумма второго 16. Действительно, отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется 5,75.