19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Да, могло. Если в классе училось 6 девочек и 18 мальчиков, то процентная доля девочек была равна

При этом условие на общее количество детей в классе выполняется, так как

б) Пусть изначально в классе учились детей, при этом из них — девочки. В этом случае процентная доля девочек составляла

Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 26%, значит,

После перевода еще одной девочки количество девочек в классе стало равно а количество детей стало равно Тогда в этом случае процентная доля девочек составила

Предположим, она стала равной 30%, тогда

Тогда делится на 10, поскольку — несократимая дробь. Так как по условию, то единственное возможное значение Тогда

При этом имеем:

Действительно,

Тогда такое невозможно.

в) В пункте б) мы доказали, что процентная доля девочек после перевода в класс еще одной не могла достигать 30%.

Давайте докажем, что она меньше 33%.

Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 26%, значит,

Тогда сравним

Заметим, что Тогда сравним

Заметим, что по условию Тогда

Таким образом,

Следовательно, меньше 33%.

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 32%. Тогда должно получиться

Так как — несократимая дробь, то делится на 25. В таком случае так как то Но тогда

Тогда имеем:

Действительно,

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 31%.

Но тогда должно получиться

Так как — несократимая дробь, то делится на 100, что невозможно, так как

В пункте б) мы доказали, что процентная доля девочек не могла стать равной 30%.

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 29%.

Но тогда должно получиться

Так как — несократимая дробь, то делится на 100, что невозможно, так как

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 28%.

Если девочек было 6, а мальчиков было 18, то после перевода девочки в группу процентная доля девочек стала равной

Причем до перевода девочки в класс процентная доля девочек составляла

То есть условие задачи выполняется.