19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Да, если , то делителями числа А, очевидно, являются степени тройки от 0 до 6, то есть числа . Их ровно 7.

б) Рассмотрим каноническое разложение числа А. Это такое разложение на простые множители, которое имеет вид:

Где числа вида - простые числа. Поймем, что количество простых делителей вычисляется по формуле

Так как любой делитель числа А должен в каноническом разложении иметь степень вхождения каждого своего простого делителя не больше, чем у числа А. Для каждого простого делителя в числе А мы можем выбрать его степень вхождения от 0 до . Тогда количество способов составить делитель А из простых чисел и степеней их вхождения как раз вычисляется по формуле выше.

Если натуральных делителей у числа 25, то, так как , мы имеем два варианта:

1.

. Но тогда . То есть А не может быть трехзначным в таком случае.

2.

. Но тогда . То есть в таком случае А тоже не может быть трехзначным.

в) Поймем, что у числа А не более 4 различных простых делителей. Иначе это число не менее

Если у числа А ровно 4 простых делителя, то докажем, что со степенью вхождения больше 1 может быть только один простой делитель. Действительно, иначе

Тогда в таком случае максимальное количество делителей достижимо, когда 2 входит с максимально возможной степенью

Тогда увеличение числа в 2 раза уже не может дать трехзначное число.

У этого числа всего делителя. Тогда

Если у числа ровно 3 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за Заметим, что

1)

иначе общее количество делителей не более

2)

иначе

Тогда имеем:

3)

иначе

Откуда получаем, что или

Объединяя эти наблюдения, получаем следующее:

• Если то по наблюдению 2

  

  Тогда

  

  Что невозможно

• Если то по наблюдению 2

  

  Тогда

  

Итого получили, что в случае, если А имеет ровно три различных простых делителя, то количество натуральных делителей у А не может превышать 32.

Пусть у числа ровно 2 различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за Заметим, что иначе

Переберем значения

• Если то

  

  Тогда

  

• Если то

  

  Тогда

  

• Если то

  

  Тогда

  

Как мы видим, ни один из вариантов не возможен.

Если у ровно 1 простой делитель, то степень его вхождения хотя бы 31, но тогда очевидно, что не трехзначное.

Тогда максимально возможное значение k равняется 32 и достигается при