19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Да, может, например:

Предисловие для б)

Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно то наименьшее число из набора меньше, чем При этом, среди его простых делителей не должно встречаться чисел, отличных от простых делителей Чтобы воспользоваться этим фактом в пунктах б) и в), выпишем, какие простые делители есть у двузначных чисел от 10 до 24:

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа: 18, 20, 22, 24.

б) Будем считать, что — различные двузначные числа и

Из предисловия понятно, что наименьшее возможное значение среднего геометрического трех различных двузначных чисел равняется 18. Действительно, если взять числа , , , то их среднее геометрическое будет равно:

в) Для начала поймем, что существует пример 6 различных двузначных чисел со средним арифметическим 60:

Для удобства выпишем числа от 60 до 99 вместе с их простыми делителями. В решении не обязательно выписывать эту таблицу. Она нужна лишь для большего удобства при прочтении решения

Давайте определим количество простых чисел в разложении на множители искомого среднего арифметического . Для начала поймем, что их меньше 4, так как иначе

Также оно точно больше 1, так как иначе 6 различных чисел должны быть степенями некоторого простого числа. Но тогда это число 2, так как Но для числа 2 двузначные степени двойки начинаются с 16, тогда мы имеем минимум но То есть простых множителей либо 2, либо 3.

Поймем, что у искомого среднего геометрического наибольший простой делитель не превышает 7. Положим обратное, тогда этот простой делитель, назовем его , не меньше 11, тогда степень вхождения числа k в произведение 6 различных двузначных чисел должна быть не меньше 6, причем степень вхождения k в любое двузначное число не превышает 1, так как Тогда каждое число должно быть кратно Причем у числа, кроме есть не более 2 других простых делителей. Тогда так как среди двузначных чисел не найдется 6 чисел, кратных 17, ведь Также так как двузначные числа, кратные 13 — это 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Причем у каждого ровно 2 простых множителя, чисел всего 7, а использовано должно быть 6 чисел из них, но среди них есть числа с множителями 3, 5 и 7, то есть какое бы число в качестве искомого среднего арифметического не было бы выбрано, минимум у 2 чисел из 7 второй простой множитель не совпадет с выбранным, то есть останется не более 5 подходящих чисел.

Теперь докажем, что Аналогично выпишем все числа, кратные 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Если в качестве «целевого» числа выбрать число, кратное 3, то степень вхождения числа 3 в произведение 6 чисел должна быть не менее 6, но в произведении выписанных 9 чисел степень вхождения числа 3 равняется 4. Тогда среди чисел, больших 60, остаются 77 и 88. 77 не подойдет, так как других чисел, кратных 7, и кратных 11, не найдется. А число 88 не подойдет, так как чисел больше 88 среди 6 выбранных быть не может (поскольку 99 кратно 3, а 88 3 не кратно), то есть среднее геометрическое всех 6 чисел точно будет меньше 88.

Тогда все простые делители искомого среднего геометрического не превышают 7. Теперь докажем, что искомое число точно не делится на 7. Разберем 2 случая:

• У среднего геометрического ровно 2 простых делителя. Тогда второй простой делитель точно не равен 3 или 5, так как иначе степень вхождения числа 7 в произведение 6 чисел, должно быть не менее 6, но для простого множителя существуют только следующие подходящие числа среди кратных 7: 49, Так как Степень вхождения числа 7 в произведение не превысит 4. Тогда среднее геометрическое будет кратно только 2 и 7, при этом больше 60, но такое число ровно одно — это 98. Ясно, что среднее геометрическое 6 различных двузначных чисел не может равняться 98, так как наибольшее среди этих чисел не больше 98 (ведь 99 кратно 3, а 98 — нет, то есть 99 в наборе чисел быть не может, а других двузначных больше 98 нет). То есть ровно 2 простых делителя у выбранного среднего геометрического, если оно кратно 7, быть не может.

• У числа ровно 3 простых делителя. Тогда это либо 2, 3 и 7, либо 2, 5 и 7, так как В первом случае искомое среднее геометрическое, так как оно должно быть больше 60, равняется 84. Давайте выпишем по убыванию первые 6 наибольших чисел, которые среди простых множителей имеют только 2, 3 и 7: 98, 96, 84, 81, 72, 64. Поймем, что их произведение меньше, чем

  

  Сравним:

  

  Тогда действительно среднее геометрическое 6 наибольших подходящих чисел уже меньше «целевого», то есть искомое среднее геометрическое не может равняться 84.

  В случае же, если у среднего геометрического простые делители — это 2, 5 и 7, то среди чисел больше 60 такое число ровно одно — это 70. Опять же выпишем наибольшие подходящие числа: 98, 80, 70, 64, 56, 50. Здесь для простоты воспользуемся неравенством о средних: среднее геометрическое не превосходит по значению среднее арифметическое, то есть в данном случае не превзойдет

Тогда имеем возможные делители: 2, 3, 5. Поймем, что 5 имеет степень вхождения в искомое среднее геометрическое не выше 1, так как иначе нужно будет найти 6 чисел, произведение которых делится на но тогда каждое число будет кратно 25 (так как уже не двузначное число), но двузначных чисел, кратных 25, всего 2. Причем если делителя ровно 2, то это 2 и 3, так как в случае с пятеркой может подойти только число 80 (в 75 пятерка входит два раза), но больше 80 подходящих чисел (которые кратны только 2 и 5) нет. Рассмотрим наибольшие числа, кратные 2 и 3: 96, 81, 72, 64, 54, 48. Но их среднее арифметическое равняется А так как оно не меньше среднего геометрического, получается, что среднее геометрическое 6 различных двузначных чисел при условии, что оно представимо целым числом и их простые множители равны только 2 и 3, не может быть больше 60 (так как наименьшее из подходящих равняется 72 и оно не является достижимым). Тогда множителей 3 — это 2, 3 и 5. Из больших 60 чисел такое ровно одно — это 90. Но его получить невозможно. Выпишем наибольшие подходящие числа: 96, 90, 81. Остальные числа меньше 81. То есть среднее геометрическое чисел не будет превосходить среднее арифметическое, которое не превосходит Тогда действительно искомое значение — 60.