19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Число 1236 подойдет:

б) Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то так как все цифры различны, их произведение хотя бы а сумма не больше Значит, неравенство не выполнено.

Если есть цифра 0, то неравенство очевидно верно.

Пусть есть цифра 1. Если при этом нет цифры 2, то произведение цифр равно хотя бы что больше наибольшей суммы цифр, равной Пусть есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем а сумма цифр не больше чем И в этом случае произведение больше суммы.

Значит, нам нужно просто найти количество четырехзначных чисел, в которых есть цифра 0. Легче это посчитать как разность количества четырехзначных чисел и чисел, в которых нуля точно нет. Всего чисел Посчитаем количество чисел, в которых нет 0 : их

Тогда ответом будет

в) Очевидно, что если при каких-то и число — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения Так как — двузначное число, то

Начнем перебор.

• Если то делится на 11. Такое невозможно, так как — цифры.

• Если то делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности где Тогда имеем:

  

  • Пусть тогда

    

  • Пусть тогда при любом

    

  • Пусть тогда

    

    Если то

    

    Если то

    

    Если то

    

    Если то

    

  • Пусть тогда

    

    Если то

    

    Если то

    

    Если то

    

    Если то

    

    Если то

    

  Значит,

• Если то делится на 97. Такое невозможно, так как — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно а сумма цифр равна Тогда

Тогда наименьшее число из этих цифр равняется 5889.

Докажем, что числа меньше 5889 не подходят.

Пусть тогда заметим следующее:

Причем так можно сделать с любой цифрой. Тогда докажем, что наименьшая цифра не меньше 5. Пусть это не так. Скажем, не умаляя общности, что и Тогда

Или же

Тогда так как иначе при сравнении неположительного числа с положительным результат сравнения будет ложным. Тогда имеет место неравенство

Теперь рассмотрим неравенство

Аналогично скажем, что иначе сравнение окажется ложным и вновь воспользуемся тем, что и рассмотрим неравенство

Проверим на истинность:

Получили противоречие. Тогда наименьшая цифра числа действительно не меньше 5. Тогда, возвращаясь к так как значения меньше 4 не принимает, а в других случаях Но так как кратно 96, а , то кратно 96, причем это число кратно 32 и 3. Поймем, что если среди есть 9, то оставшиеся две цифры точно равны 8 и 8, так как возможных четных цифр больше 4 всего 2 — это 6 и 8, но с учетом кратности произведения этих двух цифр на подойдут только две восьмерки так как степень вхождения двойки в число 6 равна 1, а в число 8 равна 3. Так мы получим уже имеющееся 5889 (поскольку мы определим однозначно все цифры). Но тогда среди цифр однозначно есть цифра 6, поскольку иначе не будет кратно 3 (цифр больше 4 и кратных трем, кроме 6 и 9 нет). Тогда произведение оставшихся цифр кратно Это либо две 8, либо 8 и 6 (так как двух 6 не хватит для получения ). Разберем эти случаи:

• 
  
• 

Значит, наименьшее число при котором равно 5889.