19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью:

Сделаем эту операцию трижды, получим ситуацию Заметим, что в первых двух коробках поровну камней, то есть мы можем брать по одному камню из первых двух коробок и класть в третью, пока камни не кончатся, так получится, что в третьей коробке будет камней.

б) Рассмотрим разность чисел камней во второй и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, во второй камней. Тогда разность равна

Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3.

Изначально разность камней во второй и первой коробках равна в конце должна стать Таким образом, разность изменилась на но 59 не делится на 3, то есть требуемая ситуация невозможна.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3.

Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна По условию во второй коробке оказалось 2 камня.

Найдем наименьшее количество камней, которое могло оказаться в первой коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем:

Тогда в третьей коробке может быть не более камней.

Для того, чтобы добиться 195 камней ровно, будем действовать как в пункте а), но не будем делать 2 последних действия: таким образом, в первой и второй коробках останется по 2 камня, а в третьей окажется ровно 195 камней.