19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть первый член последовательности равен второй в 8 раз больше первого, то есть равен третий в 8 раз меньше второго, то есть равен По условию сумма всех членов последовательности равна 4040, то есть

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

б) Рассмотрим пару соседних чисел и . Пусть , не умаляя общности (иначе можно поменять им имена). Тогда, если , то . . Таким образом, сумма соседних чисел кратна 9. В последовательности из 4 чисел 2 непересекающиеся пары, сумма чисел внутри которых кратна 9. Тогда и вся сумма этих чисел кратна 9. Но на 9 не делится.

Тогда такое невозможно

в) В пункте б) было доказано, что сумма соседних чисел кратна 9. Тогда сумма двух соседних чисел не менее 9, так как они оба натуральные. Тогда пар чисел точно не более, чем . Так как количество пар - целое число, то их не более 448. То есть чисел не более, чем .

Давайте рассмотрим такой пример: первое число равняется 8, второе 1, третье вновь 8 и так далее. Всего 897 чисел. То есть последовательность имеет вид:

Всего в последовательности 448 единиц и 449 восьмерок. Сумма всех этих чисел равняется

То есть наибольшее количество чисел в последовательности равняется 897.