19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Покажем, как переместить ровно три камня из первой коробки в третью:

Ясно, что аналогичным образом можно переместить ровно три камня из второй коробки в третью.

Давайте 11 раз переложим 3 камня из первой коробки в третью и 11 раз переложим 3 камня из второй коробки в третью. Получим следующую ситуацию:

Теперь давайте переложим 6 раз по два камня из первой и третьей коробок во вторую. Тогда во второй коробке станет на 12 камней больше, а в первой и третьей на 6 камней меньше. Итого получим: Что и требовалось.

б) Рассмотрим разность камней в первой и второй коробках при различных действиях. Их всего два вида:

1.

Если из обеих коробок переложить по камню в третью, разность количества камней между коробками не изменится.

2.

Если из первой и третьей коробки переложить по камню во вторую коробку, то в первой коробке камней станет на 1 меньше, а во второй — на 2 больше. То есть разность изменится на 3. Аналогично произойдет в случае, если камни перекладываются из второй и третьей коробок в первую.

Тогда разность количества камней в первой и второй коробках всегда изменяется на число, кратное трем. Но изначально в первой коробке на 17 камней больше, чем во второй. А так как разность камней в коробках не может изменить свой остаток при делении на 3, то в 0 она превратиться не может.

в) Аналогично пункту б) остаток от деления разности количества камней в первой и третьей коробке не может измениться ни при какой операции, а изначально он равен остатку от деления 97 на 3, то есть 1, то суммарное количество камней в перой и третьей куче после всех операций не меньше 1, то есть суммарное количество камней во второй куче не менее 176. Покажем, как получить это число:

Для начала переложим 16 раз по 3 камня из первой коробки в третью. Получим ситуацию А теперь 48 раз переложим по камню из первой и третьей коробки во вторую. Получим необходимую ситуацию: